¿Es diagonalizable una matriz simétrica compleja con parte real definida positiva?

Dejar METRO ∈ C norte × norte ser un simétrico complejo norte × norte matriz. Eso es, METRO es igual a su propia transpuesta (sin conjugación). Si la parte real de METRO es definida positiva, entonces es METRO necesariamente diagonalizable?

Por supuesto, si eliminamos el requisito de definición positiva, entonces hay ejemplos de matrices simétricas complejas no diagonalizables. Por ejemplo,

[ 1 i i − 1 ]
es uno de esos ejemplos. Sin embargo, su parte real [ 1 0 0 − 1 ] claramente no es positivo-definido.

Agregar un múltiplo real positivo de la identidad se encargará de la condición definida positiva, pero no afectará la diagonalizabilidad. Ver la respuesta por Om(nom) 3 .

Respuestas (3)

La respuesta es no. Basado en tu ejemplo,

( 3 i i 1 )
no será diagonalizable, pero tiene una parte real definida positiva.

No puedo creer que esto no se me haya ocurrido antes, ¡gracias!

Con matrices simétricas supongo que la gente está hablando PAG T A PAG en vez de q − 1 A q . Parece que el libro de Horn y Johnson da cierta prioridad al uso de la palabra "diagonalizable" para q − 1 A q . En la página 215, el ejercicio 15 es exactamente el ejemplo dado en la pregunta original.

De Horn y Johnson, sobre matrices complejas simétricas. Corolario 4.4.4, si matriz compleja A = A T existe un unitario tu y una diagonal real no negativa Σ tal que

A = tu Σ tu T .
Esto se llama factorización de Takagi .

También hice el ejemplo de la respuesta anterior por el método que había descrito, R T METRO R , como

( 1 3 − 1 3 ) ( 3 i i 1 ) ( 1 − 1 3 3 ) = ( 6 + 2 i 3 0 0 6 − 2 i 3 )

Tienes razón, debería haber especificado que por "diagonalizable" me refiero a "similar a una matriz diagonal", es decir, A = PAG D PAG − 1 . Pero esta factorización de Takagi parece muy útil, ¡gracias por compartir!
Una razón para preferir no usar el término "diagonalizable" por la existencia de una matriz invertible compleja PAG tal que PAG T A PAG es diagonal, es que así definido sería equivalente a "simétrico" (es decir, la condición siempre se cumple en el caso que usted sugiere). Incluso se puede restringir la matriz diagonal para tener entradas diagonales 1 o 0 solo. Esto es una consecuencia de la clasificación de formas blilineales simétricas sobre   C .

Escribe esto como METRO = A + i B , donde ambos A , B son reales y A es definida positiva. Resulta que A es invertible De Horn y Johnson, Teorema 4.5.15, página 228 en la primera edición, defina C = A − 1 B . Si existe una matriz invertible real R con R − 1 C R diagonal, existe entonces una matriz real no singular S con S A S T y S B S T diagonal. Resulta que S METRO S T es diagonal compleja.

No estoy seguro de lo que sucede cuando A − 1 B tiene forma de Jordan no trivial.

No estoy seguro de si esta es una respuesta sí o no.
@MarcvanLeeuwen, las personas normalmente no especifican si quieren algo PAG − 1 A PAG o algunos q T A q ser diagonal. Cuando A es simétrica real, la segunda es la elección razonable. Más en unos minutos, té listo.
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