Pregunta sobre la proyección en subespacios

Si$V$es un espacio de producto interno de dimensión finita (como$\mathbb{C}^{n}$) y$S$es un subespacio, tenemos dos nociones similares. Existe el operador de proyección ortogonal$P_{S}:V\rightarrow V$que intuitivamente toma$x\in V$al elemento más cercano del subespacio$S$, pero sigue siendo un mapeo$V\rightarrow V$. Este operador satisface$P^{2} = P$,$P = P^{*}$, y$\text{Im}(P)=S\subset V$, y sucede que$I-P_{S} = P_{S^{\perp}}$. También está la descomposición$V = S\oplus S^{\perp}$y las asignaciones$\pi_{S}:V\rightarrow S$y$\pi_{S^{\perp}}:V\rightarrow S^{\perp}$ese mapa$v\in V$a$P_{S}(v)\in S$o$P_{S^{\perp}}v\in S^{\perp}$respectivamente. supongamos que$V$tiene dimensión$n$y$S$tiene dimensión$k$. Como funciones,$P_{S}$y$\pi_{S}$mapa$x$al mismo elemento, pero tienen diferentes codominios$V$y$S$respectivamente. cuando escribimos$P_{S}$y$\pi_{S}$como matrices son$n\times n$y$k\times n$respectivamente.

En un momento, necesitaremos las asignaciones de inclusión.$i_{S}:S\rightarrow V$y$i_{S^{\perp}}:S^{\perp}\rightarrow V$que simplemente asignan un vector en el subespacio al mismo vector en el espacio vectorial más grande$V$. Puede ser útil observar que aunque estas asignaciones esencialmente "no hacen nada", están representadas por matrices rectangulares (no cuadradas).

Dado un operador lineal$Q$, generalmente no podemos descomponerlo como$Qu = Q_{1}u\oplus Q_{2}u$como escribiste en tu publicación (a menos que interpretes la notación$\oplus$extrañamente). Podemos descomponerlo en una matriz de bloques con cuatro bloques. Debemos elegir una base$V$de la forma$s_{1},\ldots,s_{k},q_{1},\ldots,q_{n-k}$de modo que$s_{1},\ldots,s_{k}$es una base de$S$y$q_{1},\ldots,q_{n-k}$es una base de$S^{\perp}$. Entonces

Si$V$es$n$-dimensional y$S$es$k$dimensional, entonces hemos cortado el$n\times n$matriz$Q$en (en el sentido de las agujas del reloj) un$k\times k$,$k\times (n-k), (n-k)\times (n-k)$y$(n-k)\times k$submatrices.

También podemos escribirlo de una manera muy similar como una suma de cuatro operadores (matrices cuadradas que asignan V a sí mismo). Recuerda eso$P_{S^{\perp}} = I - P_{S}$. Entonces$Q = IQI = (P_{S} + I-P_{S})Q(P_{S}+I-P_{S}) = P_{S}QP_{S} + P_{S}QP_{S^{\perp}} + P_{S^{\perp}}QP_{S} + P_{S^{\perp}}QP_{S^{\perp}}$.

Para dar un ejemplo para relacionar estos conceptos, observe que

Finalmente, intentaré responder a su problema de manera concreta. Tu escribiste "$Qu = Q_{1}u \oplus Q_{2}u$" dónde$\oplus$se refiere a la descomposición$V = S\oplus S^{\perp}$. Creo que este es un uso impropio de esta notación, ya que si escribimos$x = y\oplus z$, debe ser eso$y\in S$y$z\in S^{\perp}$, pero$Q_{1}$y$Q_{2}$no producirá necesariamente valores en$S$y$S^{\perp}$respectivamente. [Si lo hacen, entonces las descomposiciones anteriores son bloques diagonales , que es un caso especial importante]. Lo más parecido a$Q_{1}$de tu publicación sería$Qi_{S}$, que toma vectores de$S$a$V$y es, por tanto,$4\times 2$(un mapeo de$\mathbb{C}^{2}\rightarrow \mathbb{C}^{4}$). Compare las descomposiciones en bloques de$QP_{S}$y$Qi_{S}$abajo:

También preguntas "¿por qué$P$a$4\times 4$mapeo si se proyecta a un subespacio de dimensión dos?" Las proyecciones se refieren a$P_{S}$no$\pi_{S}$. Creo que estás confundiendo estas dos asignaciones. Son esencialmente lo mismo, excepto que tienen diferentes codominios. Eso los hace muy diferentes cuando los representas como matrices.

Comencé a trabajar en un ejemplo trivial antes de que apareciera una respuesta mucho mejor, pero tal vez este simple ejemplo concreto ayude a guiar a alguien.

Puedes expresar tensores en diferentes bases. Al igual que puedo expresar el vector 2D en$v = 3 \mathbf{e}_x + 4 \mathbf{e}_y$en términos de vectores base para un$x-y$-plano, también puedo expresarlo en términos de$v = 5 \mathbf{e}_v$dónde$\mathbf{e}_v = \frac{3}{5} \mathbf{e}_x + \frac{4}{5} \mathbf{e}_y$.

Cuando solo pasamos matrices con solo los coeficientes, por ejemplo$v = [3,4]$se hace una suposición de en qué base se expresan. Si queremos proyectar otro vector, por ejemplo$u = 5 \mathbf{e}_x + 0 \mathbf{e}_y$podemos expresar esta proyección de varias formas, en términos de los 2 coeficientes de$\mathbf{e}_x$y$\mathbf{e}_y$, o en términos del 1 coeficiente de$\mathbf{e}_v$. Trabajando a través de los cálculos para el caso que inventé aquí, uno obtendrá

Aquí está sucediendo algo complicado que básicamente se reduce al hecho de que puedes ver$Q_1$(y$Q_2$) como matrices en$GL(2;\mathbb{C})$ya que actúan sobre un$2$espacio dimensional, o verlos como elementos de$GL(2;\mathbb{C}) \subset GL(4;\mathbb{C})$es decir, verlos como$4 \times 4$matrices.

Como$S$es visto como un subconjunto de$\mathbb{C}^4$es una buena idea ver$u_1$y$u_2$como vectores con cuatro entradas aunque$u_1 \in S$y$u_2 \in S^{\perp}$, que son ambos$2$subespacios dimensionales de nuestro espacio original.

Como en el ejemplo, si nuestro espacio es$\mathbb{C}^4$y consideramos$S = \{e_1,e_2\}$dónde$e_1$y$e_2$son los vectores base estándar, entonces aún querríamos escribir,$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\0\\0 \end{pmatrix}$en vez de$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$a pesar de$e_1 \in S$, dónde$S$es un$2$-espacio dimensional, debido al hecho de que vemos$S$como un subespacio de$\mathbb{C}^4$.

Por lo tanto, necesitamos$Q_1$y$Q_2$ser$4 \times 4$matrices, podría verse algo como esto:

$Q = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&5&6\\0&0&7&8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&4&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0&0&0&0\\0&0&0&0 \\0&0&5&6\\0&0&7&8 \end{pmatrix} = Q_1 + Q_2$.

Entonces sí, si ves$Q_1$como un$4 \times 4$matriz entonces tendrás$Q_1 = QP_S$(y que alguien me corrija si me equivoco, pero no veo por qué)$Q_1 = P_SQ$tampoco funcionaría).