Sea AAA una matriz real de 3×33×33 \times 3 que no es similar a ninguna matriz triangular superior en RR\Bbb R, pruebe que AAA es similar a una matriz diagonal en CC\Bbb C.

Supongamos que un$3 \times 3$matriz real$A$no es similar a ninguna matriz triangular superior en el campo real$\mathbb{R}$, es decir, no hay$3 \times 3$matriz real invertible$P$, tal que$P^{-1}AP$es una matriz triangular superior. Pruebalo$A$es similar a una matriz diagonal en el campo complejo$\mathbb{C}$.

Mi solución

Necesito citar el siguiente resultado:

Dos matrices reales$A$y$B$son similares en$\mathbb{C}$si y solo si$A$y$B$son similares en$\mathbb{R}$. En detalle, si existe un invertible$P \in \mathbb{C}^{n \times n}$tal que$B = P^{-1}AP$, entonces existe un$Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$tal que$B = Q^{-1}AQ$.

Luego demuestro la conclusión por contradicción. Si$A$no es similar a una matriz diagonal en$\mathbb{C}$,$A$tendría al menos dos valores propios idénticos. Porque$n = 3$y las raíces imaginarias aparecen en pareja, esto significa que todas$A$Los valores propios de son números reales. Hay dos casos.

• Todos los valores propios iguales a$\lambda_0$. Usando la teoría de la forma canónica de Jordan,$A$es similar a una de las siguientes tres matrices:

  $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda_0 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \lambda_0 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_0 & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_0 \end{pmatrix}. \end{equation*}$$ En cualquier caso,$A$sería similar a una matriz triangular superior en$\mathbb{R}$(utilizando el resultado indicado al principio), contradicción.

• Dos valores propios iguales a$\lambda_1$, el valor propio restante es igual a$\lambda_2 \neq \lambda_1$. Bajo este caso,$A$es similar a una de las siguientes dos matrices:

  $$\begin{equation*} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}. \end{equation*}$$ En cualquier caso,$A$sería similar a una matriz triangular superior en$\mathbb{R}$, contradicción.

Por lo tanto,$A$tiene tres valores propios diferentes, por lo que es diagonalizable en$\mathbb{C}$.

Mi pregunta

¿Hay alguna solución más directa que posiblemente evite usar el formulario de Jordan y el resultado que cité? Porque este es un ejercicio que apareció antes de que se introdujera el capítulo de la forma de Jordan.