Usando la diagonalización de una simétrica en forma cuadrática

Dejar$f (x, y) = 7x_2 + 4y_2 + 4xy$. Usa la diagonalización de una matriz simétrica para escribir esta forma cuadrática en la forma$λ_1u_2^2 +λ_2v_2^2$, con u y v combinaciones lineales de x e y.

Esto es lo que he probado:

paso 1. obtener la matriz simétrica

$$f (x, y) = 7x_2 + 4y_2 + 4xy=\left(\begin{matrix}7&2\\2&4\\\end{matrix}\right)$$

paso 2. encontrar los valores propios

$$det(A-\lambda I) \\ \left(\begin{matrix}7-\lambda&2\\2&4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(7-\lambda)(4-\lambda)-4=(\lambda-3)(\lambda-8)$$

paso 3. encontrar los vectores propios

Caso para$\lambda =3$

$$\left(\begin{matrix}7-3&2\\2&4-3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&2\\2&1\\\end{matrix}\right)$$

Fila reducida

$$\left(\begin{matrix}4&2\\2&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\0&0\\\end{matrix}\right) \implies \left(\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right)=y_1\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\\end{matrix}\right)$$

Haciendo lo mismo por$\lambda =8$(me saltaré el cálculo), obtengo$\left(\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right)=y_2\left(\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right)$

Encontrar los vectores propios ortogonales

$$u_1 = \frac{y_1}{||y_1||} = \frac{2}{\sqrt{5}}\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\\end{matrix}\right) \\ u_2 = \frac{y_1}{||y_1||} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right) \\ P=(u_1,u_2)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\\\end{matrix}\right) \\ D = P^TAP = \left(\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7&2\\2&4\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\\\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}3&0\\0&8\\\end{matrix}\right) \\ x^TAx = \lambda^TD\lambda = \left(\begin{matrix}\lambda_1&\lambda_2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3&0\\0&8\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\end{matrix}\right) = 3\lambda_1^2+8\lambda_2^2$$

Sin embargo, mi resultado no parece estar en la misma forma que la pregunta:

$λ_1u_2^2 +λ_2v_2^2 \ne 3\lambda_1^2+8\lambda_2^2$, ¿cómo procedo desde aquí?