Una demostración sobre matriz diagonalizable

Pero no encuentro que demostrar esa falsedad en general.

No creo que haya una manera de demostrar esto en general. Dichas declaraciones se consideran falsas , siempre que pueda proporcionar un caso de que la condición dada es incorrecta.

Si A es una matriz cuadrada de orden n es invertible, entonces A es diagonalizable

La declaración anterior es falsa , porque hay matrices cuadradas que no cumplen esa condición, como:

$\left ( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} \right )$,$\left ( \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right )$etc...

Aunque su ejemplo es suficiente para refutar la declaración, aquí hay un ejemplo para cualquier$n\in \mathbb N$

$$\begin{pmatrix}\begin{array}{cc|c|c|c|c}1 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0\\0 & 1 &0 & 0 & \dots & 0\\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &0 & 1\end{array}\end{pmatrix}$$

La matriz es una matriz identidad excepto que$a_{12}$es igual a$1$, sin ser diagonalizable.