¿Las submatrices de una matriz unitaria compleja arbitraria son diagonalizables?

Considere una matriz unitaria compleja$U \in \mathbb{C}^{N\times N}$y elija dos elementos diagonales y dos fuera de la diagonal de su$m$y$n$filas para construir un$2 \times 2$submatriz:

$$\begin{equation} M= \begin{bmatrix} U_{mm} & U_{mn}\\ U_{nm} & U_{nn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} U_{mm} & U_{mn}\\ (U_{mn})^* & U_{nn} \end{bmatrix} \end{equation}$$

(Aquí considero el caso hermitiano$U_{nm} = (U_{mn})^*$.) Es$M$siempre diagonalizable?

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Conjetura:$M$debe ser diagonalizable. Porque$U$es unitario, los vectores propios de$U$debe abarcar un espacio lineal de dimensión$N$. Si existe alguna$M$no diagonalizable, los vectores propios de ese$M$no abarca una dimensión$2$espacio.

Prueba de fuerza bruta: encuentre los vectores propios de esta muestra $2\times 2$submatriz. Sus vectores propios también se muestran en la figura. ($a_{1,2}, b_{1,2} \in \mathbb{R}$, y$c \in \mathbb{C}$)

Para que los dos vectores propios sean idénticos, se deben satisfacer las siguientes dos ecuaciones:

$$\begin{equation} (a_1-b_1)^2 - (a_2-b_2)^2 + 4|c|^2 = 0 \text{ and } (a_1-b_1)(a_2-b_2) = 0. \end{equation}$$ Claramente, ambas ecuaciones pueden ser satisfechas simultáneamente. Cuando ambos están satisfechos,$M$no tiene dos autovectores independientes y por lo tanto no es diagonalizable.

Este resultado parece contrario a la intuición.

Además, comencé a pensar en esta pregunta al estudiar este artículo histórico . Este artículo trata sobre una forma recursiva de construir cualquier $N\times N$matriz unitaria con experimentos ópticos. Su ecuación 2 muestra que aplicando en total$N-1$diferente$2\times 2$matrices rotacionales a$(N-1)\times (N-1)$matriz unitaria, se puede construir una$N\times N$matriz unitaria. Realizando esto recursivamente, uno puede usar$N(N-1)/2$matrices rotacionales para construir un$N\times N$matriz unitaria a partir de una matriz identidad.

Sin embargo, parece que acabamos de mostrar que no todas las matrices unitarias$U$se puede construir de esta manera...