¿Es correcto decir: "El tiempo se ralentiza cuanto más nos adentramos en un campo gravitatorio, porque parte de él se convierte en velocidad espacial"?

No sé por qué la gente vota negativamente la pregunta. Es obvio que no estás lo suficientemente familiarizado con la relatividad general, pero entiendo tu pregunta.

En GR, el objeto más importante es la métrica , que nos dice cómo medir distancias usando unas coordenadas. La longitud al cuadrado de un segmento de línea infinitesimal en el espacio-tiempo está dada por

$$ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu =\left[ \matrix{ dx_0 & dx_1 & dx_2 & dx_3} \right]\left[ \matrix{ g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03 } \\ g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13 } \\ g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23 } \\ g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33}} \right] \left[ \matrix{ dx_0 \\ dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3} \right]$$

Aquí,$g_{\mu \nu}$se llama tensor métrico y es una matriz que contiene toda la información que necesitamos para medir distancias temporales y espaciales.

La velocidad en GR se describe con un 4-vector conocido simplemente como 4-velocidad . esta dado por

$$U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$$ $\tau$representa el tiempo propio , que se define por $d\tau^2 = -ds^2$, pero no nos preocupemos por su significado por ahora. Configuración $c=1$por simplicidad, podemos escribir los componentes del vector explícitamente: $$U^\mu = (\gamma, \gamma \mathbf{u}) = \left[ \matrix{ \gamma \\ \gamma \frac{dx_1}{dt} \\ \gamma \frac{dx_2}{dt} \\ \gamma \frac{dx_3}{dt} } \right]$$ Aquí, $\gamma$es el factor de Lorentz dado por $$\gamma = \frac{d\tau}{dt}$$ y describe la razón de cambio del tiempo propio con respecto al tiempo coordinado . En otras palabras, describe cuánto te mueves en el espacio-tiempo cuando no te mueves por el espacio en ese sistema de coordenadas. O, si se quiere, describe la velocidad a través del tiempo (dilatación del tiempo, para ser precisos). Los otros tres componentes describen la velocidad a través del espacio , multiplicada por $\gamma$.

siguiendo hasta ahora? Si no es así, vaya a buscar los términos desconocidos, ¡debería encontrarlos fácilmente!

Ok, con eso fuera del camino, veamos qué sucede en el campo gravitacional cerca de un objeto esférico de masa no giratorio y sin carga.$M$. La solución para este problema se expresa más fácilmente usando la métrica de Schwarzschild , dada por

$$ds^2 = - \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) dt^2 + \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$ Aquí, $G$es la constante gravitatoria de Newton y las coordenadas que estamos usando se conocen como coordenadas de Schwarzschild . $t$es la coordenada de tiempo medida por un observador infinitamente lejos del objeto y $r$es la coordenada radial, que mide la circunferencia, dividida por $2\pi$, de una esfera centrada alrededor del objeto. Para simplificar, puede ver $t$como el tiempo y $r$como la distancia desde el centro del objeto, pero tenga en cuenta que estas coordenadas tienen definiciones concretas. $\Omega$significa coordenadas angulares, pero no nos preocupemos por ellas aquí.

Al conectarlo en la fórmula desde el principio, puede escribir el elemento de distancia del espacio-tiempo (ignorando la parte angular por simplicidad, es decir,$d\Omega = 0$) utilizando esta ecuación matricial:

$$ds^2 = \left[ \matrix{ dt & dr } \right] \left[ \matrix{- \left( 1 - \frac{2GM}{r} \right) & 0 \\ 0 &\left( 1 - \frac{2GM}{r} \right)^{-1}} \right] \left[ \matrix{ dt \\ dr } \right]$$

La velocidad (nuevamente, ignorando la parte angular) es entonces

$$\left[ \matrix{ \frac{dt}{d \tau} \\ \frac{dr}{d \tau} } \right] = \left[ \matrix{ \frac{1}{\sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r}} }\\ \sqrt{ 1 - \frac{2GM}{r} } } \right]$$

Entonces, cuando te acercas al objeto,$r$disminuye y su velocidad a través del tiempo disminuye mientras que la velocidad a través del espacio aumenta. Pero no consideres las distancias$r\leq 2GM$porque encontrará algunos problemas que están más allá del alcance de esta respuesta. ( Para completar, permítanme mencionar que los objetos con un radio menor que$2GM$son agujeros negros y su horizonte de eventos estaría en$r_s=2GM$, conocido como el radio de Schwarzschild )

Entonces, la respuesta a tu pregunta es sí , pero hay que tener cuidado con las palabras y ser específico con su significado.

Es posible que me haya perdido un signo menos en alguna parte, pero no debería afectar la conclusión. usé el$(-,+,+,+)$convención. Siéntete libre de corregirme o señalar un error.