¿Por qué la curvatura del espacio-tiempo causaría gravedad dado que el valor de la dilatación del tiempo gravitacional es tan pequeño?

Para comprender esto, considere la analogía de dos autos que conducen hacia el norte desde el ecuador, como se analiza en la pregunta: ¿ Por qué la velocidad de un objeto afecta su trayectoria si la gravedad es un espacio-tiempo deformado? El diagrama relevante de esa pregunta es:

Debido a la curvatura de la superficie de la Tierra, los dos autos convergen aunque comenzaron paralelos, y esto es lo que sucede en la relatividad general, excepto que allí también debemos tratar el tiempo como una dimensión.

Si observa el diagrama, debería ser obvio que cuanto más rápido se dirijan los automóviles hacia el norte, más rápido convergerán, es decir, mayor será la fuerza aparente entre ellos. De hecho, como se discutió en Devación geodésica en dos esferas, si los autos comienzan una distancia$d$aparte su separación en el tiempo$t$es dado por:

y una diferenciación rápida después encontramos la aceleración$d^2s/dt^2$es proporcional a$v^2$. Entonces, la fuerza aparente entre los dos autos es proporcional al cuadrado de su velocidad hacia el norte.

En relatividad general encontramos que para un objeto estacionario las cuatro aceleraciones vienen dadas por:

Ver ¿Cómo explica el "espacio curvo" la atracción gravitacional? de donde viene esta ecuación. La cantidad$u$es la cuarta velocidad, por lo que una vez más tenemos una dependencia cuadrática de la aceleración con la velocidad, tal como en el caso de las 2 esferas anteriores.

Y esto explica claramente por qué incluso una pequeña curvatura provoca grandes aceleraciones. Es porque la magnitud de las cuatro velocidades es siempre igual a$c$, por lo que en la ecuación de la aceleración estamos multiplicando el término de curvatura (pequeña)$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$por el término (muy grande)$c^2$. Entonces, incluso en la superficie de la Tierra, donde la curvatura del espacio-tiempo es apenas medible, todavía tenemos una aceleración de$9.81~\textrm{m}^2$porque estamos multiplicando esa pequeña curvatura por$9 \times 10^{18}$.

En cuanto al paso del tiempo, no, no implica flujos de tiempo. En GR, la trayectoria de un objeto es una línea en una variedad 4D, es decir, el conjunto de todas las posiciones posibles en el espacio-tiempo del objeto. Si bien los humanos perciben que la posición en esa línea cambia con el tiempo, no existe un concepto equivalente de flujo en GR. Para obtener más información sobre esto, consulte ¿Qué es el tiempo, fluye y, de ser así, qué define su dirección?

El potencial gravitatorio resultante (GPE por unidad de masa) también es "pequeño", en comparación con$c^2$... pero en unidades SI, aún puede ser bastante grande. Es como preguntar cómo puede medirse una velocidad grande cuando se espera que sea pequeña en comparación con$c$.

¿Esto implica que la gravedad en la relatividad de Einstein requiere que pase un tiempo para operar?

Lo hace también en la física newtoniana; en ambos casos queremos explicar una aceleración, que es una derivada temporal de segundo orden.

Encuentro útil pensar en la gravedad como un sistema de baja presión en el clima. No tienes que considerar la diferencia entre la tasa de tiempo en la altura y en la superficie de la tierra. Todo lo que necesita saber es que la "presión" del tiempo inmediatamente debajo del objeto es ligeramente menor que la presión del tiempo inmediatamente encima del objeto. Entonces el objeto quiere moverse en esa dirección, es decir, hacia abajo.

Piensa en por qué un globo de helio se eleva en el aire. No sabe que la presión del aire a 100 metros de altura es diferente a la de la superficie. Todo lo que sabe es que la presión del aire inmediatamente encima es un poco más baja que la presión del aire debajo. Entonces se mueve en esa dirección, hacia arriba.

Entonces, es solo la diferencia entre esta presión inmediatamente arriba e inmediatamente debajo del objeto lo que importa en el proceso de caída.