¿Está el espacio-tiempo curvado en el marco de referencia de un objeto en caída libre cercano a la Tierra?

Si floto inmóvil en el espacio exterior, mediré el espacio-tiempo como aproximadamente plano. Por el principio de equivalencia, obtendré un espacio-tiempo plano si estoy en caída libre cerca de la Tierra. ¿Es esto correcto? de lo contrario, puedo distinguir entre los dos escenarios.

Tenga en cuenta que la curvatura del espacio-tiempo es un tensor, por lo que es una cantidad covariante. En particular, si es cero en un cuadro, entonces es cero en todos los cuadros y si es distinto de cero en un cuadro, entonces es distinto de cero en todos los cuadros.

Sin embargo, para medir la curvatura del espacio-tiempo se requiere una región de espacio-tiempo suficientemente grande. El principio de equivalencia solo se aplica si usa una región del espacio-tiempo que es demasiado pequeña para medir cualquier curvatura. Esa advertencia es muy importante para comprender el principio de equivalencia, solo se aplica localmente donde "localmente" significa en una región del espacio-tiempo lo suficientemente pequeña como para que la curvatura del espacio-tiempo no pueda detectarse.

Digamos que me declaro un marco de referencia inercial bajo GR. Veo la tierra acelerando hacia mí. ¿Qué provoca esa aceleración? No es la curvatura del espacio-tiempo, ¿verdad? Acabo de medirlo para que sea plano.

El piso acelera porque el suelo lo empuja hacia arriba. No hay fuerza gravitacional en este marco, por lo que no hay fuerza hacia abajo para contrarrestar la fuerza hacia arriba. Por lo tanto, el piso acelera.

De manera similar, el suelo inmediatamente debajo del suelo tiene dos fuerzas sobre él: una fuerza hacia abajo desde el suelo y una fuerza hacia arriba desde la tierra inmediatamente debajo del suelo. La fuerza hacia arriba es mayor que la fuerza hacia abajo, por lo que acelera hacia arriba.

Esto continúa con la siguiente capa de tierra y la siguiente, y finalmente te alejas lo suficiente como para que la curvatura se vuelva detectable en la región y el principio de equivalencia ya no se aplica.

Estás diciendo "Si floto inmóvil en el espacio exterior, mediré el espacio-tiempo para que sea aproximadamente plano". Digamos que esto es correcto en los vacíos del espacio intergaláctico.

Ahora, cuando dices "Por el principio de equivalencia, obtendré un espacio-tiempo plano si estoy en caída libre cerca de la Tierra", esto no es correcto. Cerca de la Tierra, estás dentro del campo gravitatorio de la Tierra, dentro del campo gravitatorio del Sol y dentro del campo gravitatorio de la Vía Láctea (etc.). Estás en un espacio-tiempo curvo.

Ahora estás diciendo: "Veo que la tierra se acelera hacia mí. ¿Qué causa esa aceleración? No es la curvatura del espacio-tiempo, ¿verdad? Solo medí que era plano". En realidad, mides el espacio-tiempo para que se curve cerca de la Tierra. Esta curvatura es lo que provoca la aceleración. La razón por la que está acelerando hacia la Tierra es que la curvatura está dominada por la energía de estrés de la Tierra cerca de la Tierra, pero todavía está dentro del campo gravitatorio del Sol y también del campo gravitatorio de la Vía Láctea (etc.). La curvatura en diferentes direcciones se cancela y el efecto neto es lo que ves que estás acelerando hacia la Tierra.

Al igual que cuando estás en el centro de la Tierra, te sientes ingrávido. Esto se debe a que la curvatura se cancela desde todas las direcciones. ¿Significa esto que no hay curvatura en el centro de la Tierra? ¡No! Contrariamente a la creencia popular, hay una curvatura en el centro de la Tierra, pero te sientes ingrávido. Esto se debe a que la aceleración radial cuatro es cero, pero la curvatura es distinta de cero.

La geometría del espacio-tiempo se describe mediante una función llamada tensor métrico. Si está comenzando a aprender GR, en cualquier momento encontrará la métrica de Schwarzschild que describe la geometría fuera de un cuerpo simétrico esféricamente. Obtenemos las cuatro aceleraciones usando la ecuación geodésica:

$${d^2 x^\mu \over d\tau^2} = - \Gamma^\mu_{\alpha\beta} {dx^\alpha \over d\tau} {dx^\beta \over d\tau}$$ donde el$\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$se denominan [símbolos de Christoffel][5] (del segundo tipo) y dependen de la curvatura del espacio-tiempo. Cuando$r = 0$el símbolo de Christoffel$\Gamma_{tt}^r$es cero y eso significa que la aceleración radial de cuatro es cero y eso significa que no tienes peso.

La respuesta a su pregunta es que cerca de la Tierra, en su caso, cuando cae libremente hacia la Tierra, todavía hay curvatura, y eso causa la aceleración.

Esto se puede entender fácilmente de otra manera, usando el vector de cuatro velocidades. Si acepta que el Universo está configurado de tal manera que la magnitud del vector de cuatro velocidades es siempre constante. Si inicialmente está estacionario cerca de la Tierra, todavía está dentro del campo gravitatorio de la Tierra. Esto provoca la dilatación del tiempo, os ralentizaréis en la dimensión temporal. Dado que la magnitud de los cuatro vectores es constante, su componente espacial deberá compensar. Comenzarás a moverte en el espacio. Comenzarás a moverte hacia el centro de gravedad. ¿Por qué vas a acelerar? Debido a que te estás adentrando cada vez más dentro del campo gravitatorio de la Tierra, la curvatura se está volviendo más fuerte (todavía fuera de la superficie) y el potencial GR se está volviendo más fuerte. Os estáis moviendo hacia la Tierra, y estáis desacelerando aún más en la dimensión temporal.

Ahora, en su caso, es muy importante comprender la diferencia entre curvatura y potencial.

La aceleración gravitacional depende de la fuerza gravitacional, que está codificada (dentro de un marco de referencia) en los componentes de$\Gamma_{ab}{}^{c}$Los efectos de dilatación del tiempo dependen del potencial gravitatorio, que está codificado, dentro de un marco de referencia, en los componentes de$g_{ab}$.

¿La curvatura del espacio-tiempo (para la dilatación del tiempo) se cancela en el punto del centro de masa (porque los efectos de curvatura se cancelan en todas las direcciones)?

Entonces, la respuesta a su pregunta es que está acelerando hacia la Tierra, porque hay una curvatura distinta de cero, y el efecto neto hace que un vector de cuatro aceleraciones radiales apunte hacia el centro de la Tierra. Estás diciendo que mientras estás en caída libre hacia la Tierra, estás midiendo el espacio-tiempo para que sea plano, pero eso no es correcto. Si mide la curvatura del espacio-tiempo cerca de la Tierra, dentro del campo gravitatorio de la Tierra, verá que no es plano, la curvatura es distinta de cero y el potencial también es distinto de cero. Si haces esto fuera de la superficie de la Tierra, obtendrás una aceleración radial cuatro que apunta hacia el centro de la Tierra, y es por eso que aceleras.

El principio de equivalencia se aplica solo localmente. Un marco de referencia de referencia inercial cerca de la Tierra no se extiende hasta el centro de la Tierra (que determina la posición de la superficie de la Tierra). El espacio-tiempo no es plano sobre las regiones donde se pueden detectar las fuerzas de marea (diferencias en los movimientos gravitacionales).

Compare esto con observar que la superficie de la Tierra es casi plana en la región de su ciudad. No puedes concluir la teoría de la Tierra plana a partir de esa observación.

Encontré esta pregunta muy adecuada para investigar qué es lo que estamos diciendo sobre la gravedad en la relatividad general. Mi respuesta estará de acuerdo con una ya publicada por Charles Francis, pero tal vez pueda ayudar explicando el análisis con más detalle.

Comenzaría construyendo o imaginando un diagrama de espacio-tiempo. Dibuja en el diagrama la línea de tiempo tuya y del planeta Tierra. Ambas líneas de tiempo son geodésicas. Ahora mida la separación entre las dos líneas de mundo, en función del tiempo propio a lo largo de ambas. Encontramos que la separación está cambiando cuadráticamente con el tiempo. Ese cambio cuadrático es el ingrediente esencial en una forma de medir la curvatura del espacio-tiempo: la llamada desviación geodésica . La noción de distancia entre dos geodésicas muy alejadas entre sí es bastante difícil de definir, pero para geodésicas cercanas entre sí se puede hacer de una manera bien definida. La esencia de la observación es que si esta distancia es$\eta$luego para geodésicas temporales y pequeñas$\eta$obedecerá la ecuación

$$\frac{d^2\eta}{d \tau^2} = K c^2 \eta$$ dónde$K$es la curvatura gaussiana local del espacio-tiempo (en una dirección señalada por las geodésicas elegidas). Lo que esto significa es que si estoy sentado en mi propio pequeño marco de referencia inercial, en caída libre, y cerca de mí hay otra cosa en caída libre, y noto que la distancia entre nosotros está cambiando cuadráticamente (no solo linealmente), entonces He detectado la presencia de la curvatura del espacio-tiempo.

Observe que la curvatura del espacio-tiempo está bien definida incluso en un punto, pero sus efectos tienden a cero en el límite de tiempos y distancias pequeños a una velocidad que es al menos cuadrática en distancia y tiempo . El principio de equivalencia se basa en esa observación. La declaración matemática sería decir que la métrica del espacio-tiempo no es simplemente minkowskiana en cualquier evento P dado (en coordenadas adecuadas), sino también en eventos cercanos, en el sentido de que su desviación de la forma minkowskiana solo aparece en el orden cuadrático no lineal en el desplazamiento del espacio-tiempo. de P:

$$g_{ab} = \eta_{ab} + O(x^a - x^a_P)^2$$

Después de escribir tanto, comencé a preguntarme, "¿es realmente tan simple?" ¿Es la curvatura gaussiana del espacio-tiempo cerca de la superficie de la Tierra igual a$-g / c^2 R_E$? La respuesta es sí, es así de simple, pero se requiere una observación adicional. El efecto cuadrático que consideramos aquí, que involucra geodésicas temporales, sería descrito correctamente por la gravedad newtoniana. Entonces, uno podría argumentar que no necesitamos invocar el concepto de curvatura para describirlos. Eso es correcto: podríamos simplemente decir que hay una fuerza gravitacional como en la teoría de Newton. El caso más interesante sería encontrar una desviación de las predicciones newtonianas para las líneas de mundo, o detectar la curvatura del espacio-tiempo en la dirección espacial, y eso es más difícil de hacer. Resulta que es de un tamaño similar al que acabamos de calcular. La curvatura del espacio-tiempo en la dirección espacial vertical cerca de la superficie de la Tierra es igual a$-g / c^2 R_E$, y esto significa que un círculo orientado en dirección vertical, como una rueda de bicicleta o el London Eye, tendría un área más pequeña de lo que cabría esperar sobre la base de su circunferencia. Sin embargo, es un efecto pequeño: solo 230 nm$^2$Falta para el London Eye.

Posdata

La distancia$R_E$en el cálculo anterior es igual al radio de la Tierra, no a la distancia desde la superficie de la Tierra. Esto se debe a que la superficie de la Tierra no está en caída libre, pero el centro de la Tierra sí lo está. Así que las dos líneas de tiempo son la de la persona en caída libre cerca de la Tierra y la del centro de la Tierra.

El principio de equivalencia solo se aplica si usa una región del espacio-tiempo que es demasiado pequeña para medir cualquier curvatura.

@Dale Tengo algunas dudas sobre la aplicación de esta condición. Esta declaración es mal utilizada muchas veces. Creo que si el observador, así como la estación espacial dentro de la cual flota, cae libremente hacia la tierra, siempre mide el espacio-tiempo para que sea plano WRT él, y dado que la estación espacial cae libremente junto con él, siendo todos los experimentos realizadas por el observador producen los mismos resultados que las realizadas por un observador que flota en un espacio interestelar lejos de cualquier campo gravitatorio. Es decir, si la longitud de la estación espacial es$1\space m$o$1\space Km$, el espacio-tiempo es plano en todo su interior desde el punto de vista del observador dentro de la estación espacial.

Sin embargo, el observador puede afirmar que la tierra se acelera mecánicamente hacia él dentro de su espacio-tiempo plano.

Lo único que puede hacer dudar al observador acerca de si el espacio-tiempo es completamente plano dentro de la estación espacial es la diferencia del campo G que obedece a una ley del inverso del cuadrado, es decir, el campo gravitatorio no es uniforme en realidad. Esto hace que las partes más cercanas de la estación espacial a la tierra aceleren con valores mayores en comparación con las partes más lejanas. La rigidez del cuerpo de la estación espacial hace que toda la estación acelere con, digamos, un valor promedio. Este valor difiere ligeramente de la aceleración del observador que flota dentro de la estación y, por lo tanto, el observador ve que la estación espacial está acelerando WRT él aunque esta aceleración es muy pequeña. Por otro lado, los vectores de aceleración son convergentes hacia el centro de la planta,

No obstante, si podemos suponer un campo G uniforme como el que hay cerca de una placa infinitamente grande (en lugar de un planeta, supongamos que la estación espacial y el observador que flota dentro caen libremente hacia esta enorme placa), el espacio-tiempo es completamente y exactamente plano en todas partes dentro de la estación espacial, independientemente de cuán grandes sean las dimensiones espaciales de la estación espacial. Recuerde que, para tal placa, el campo G, similar al campo E dentro de un capacitor de placas paralelas, es exactamente uniforme.

Recuerde que ya sea que asuma un planeta o una placa masiva, el observador que flota en la estación espacial en caída libre siempre afirma que el espacio-tiempo es casi plano dentro de la estación espacial, y que esta planitud nunca justifica la considerable aceleración del planeta/placa hacia el observador a menos que el observador asuma que el planeta/placa es de alguna manera mecánicamenteaceleró hacia él. En otras palabras, no podemos decir que debido a que hay una curvatura muy pequeña dentro de la estación espacial (en el ejemplo del planeta), esta pequeña curvatura explica la aceleración del planeta hacia el observador dentro de la estación espacial. Este fenómeno es más perceptible en el ejemplo de la enorme placa: ¿Puede el observador dentro de la estación espacial atribuir la aceleración de la placa exactamente a la curvatura del espacio-tiempo cero dentro de la estación espacial? La respuesta es claramente negativa.

¿Qué provoca esa aceleración? No es la curvatura del espacio-tiempo, ¿verdad? Acabo de medirlo para que sea plano.

Suponga que, lejos de cualquier campo gravitatorio, un observador y un objeto están en reposo WRT entre sí dentro de un espacio-tiempo plano. De repente, el objeto acelera hacia este observador. ¿Podemos decir que el espacio-tiempo plano unido al observador se dobla abruptamente solo porque un objeto se está acelerando alejándose o acercándose a él?

Por lo tanto, creo que el espacio-tiempo está doblado para el observador que está parado en la tierra así como para el observador unido al objeto que acelera (en mi último ejemplo), mientras que es plano para el observador que cae en la estación espacial que cae así como para para el observador que flota en un espacio interestelar que solo mira un objeto se acelera hacia él (en mi ejemplo posterior).

Si floto en el espacio exterior, mediré el espacio-tiempo para que sea aproximadamente plano. [...]

Estrictamente hablando, usted flotando solo por sí mismo no sería capaz de determinar la curvatura (valores de los invariantes de curvatura ) de la región que lo contiene, a lo largo de su trayectoria. En su lugar, necesitaría la ayuda de al menos otros cuatro participantes distintos y separados; de ahí el "Medidor de curvatura de cinco puntos"
de Synge (Gen. Rel, p. 409).

Y, para medir la curvatura en consecuencia, usted (o cualquiera de sus cuatro asistentes) no necesariamente tendría que " flotar libremente " (también conocido como "en caída libre"). La medida de la curvatura (de una región, punto por punto) está algo separada de la medida de la "libertad" o aceleración de cualquier persona;
cmp. Cómo expresar la magnitud de la aceleración propia a través de intervalos de espacio-tiempo

¿Está el espacio-tiempo curvado en el marco de referencia de un objeto en caída libre cercano a la Tierra?

La curvatura de una región es una cantidad que debe medirse sin ambigüedades; independientemente de cualquier elección particular (y disponible) de marco de referencia mencionado para este propósito.