Un estudiante amigo mío me dio recientemente una demostración del teorema fundamental del cálculo que no se corresponde con ninguna que pueda encontrar en los libros de texto. Comienza considerando una función continua creciente y tomando el área de un rectángulo delgado rematado con un triángulo creado al sumar a la valor (como la entrada de wikipedia para el teorema):
dónde es la función de área, es el valor agregado, el primer término de la derecha es el área del rectángulo y el segundo término de la derecha es el área del triángulo. El término es la proyección que forma el lado vertical del triángulo. Aparentemente, la curva puede estar compuesta por pequeñas líneas rectas que hacen posible el triángulo. El siguiente paso es:
RHS 2 se descarta porque es despreciable. ¿Es esta prueba legítima? Si es así, ¿por qué no está en los libros de texto? Parece mucho más simple que las alternativas.
Es un buen comienzo. Pero hay tres problemas.
Se supone que las integrales y las áreas son lo mismo. Es cierto que la integral se definió para tratar de generalizar los cálculos de área estándar, pero ¿estás seguro de que tiene éxito? Si no, probar cosas sobre áreas no prueba cosas sobre integrales (que involucran sumas inferiores y superiores, etc.).
La afirmación de que A(x + h) = A(x) + hA'(x)
es falsa. Lo que es cierto es que el lado derecho es una muy buena aproximación del lado izquierdo, bajo ciertas suposiciones, y mejora cada vez más a medida que
se vuelve más pequeño
Esa misma afirmación asume implícitamente que la función de área es diferenciable. Si bien la mayoría de los usos de la FTC dependen del hecho de que la derivada de es , la parte más profunda del teorema es que es diferenciable en absoluto. Una vez que sabes eso, calcular la derivada no es tan difícil. :)
Los detalles que están ocultos en estas dos cosas son precisamente lo que realmente manejan todas esas pruebas de "libro".
Por otro lado, una imagen y un boceto de prueba como este es una gran idea para motivar la afirmación del teorema y para guiar al estudiante a una prueba más completa y correcta.
El teorema afirma que existe y es igual . El argumento dado parece asumir existe, en lugar de tratarlo como parte de lo que se iba a demostrar.
Puedes argumentar de la siguiente manera.
Suponer es continuo
En otras palabras . De este modo existe y es igual a .
Tal vez fue en los primeros libros.
Esta argumentación geométrica recuerda los primeros trabajos sobre curvas geométricas de alrededor de 1650-1700, esos científicos (Gregory, Barrow, Leibniz, Newton) descubrieron y conocían esa relación entre el área bajo una curva y esa curva.
Para citar de esta agradable charla:
La declaración moderna de la FTIC es el resultado de siglos de refinamiento de la comprensión original y requiere un análisis considerable para que los estudiantes la entiendan y la aprecien.
Entonces, hay razones por las que no se hace de esta manera en los textos modernos.
Al final, incluso se abandonó la idea de asignar un "área" significativa a todos los subconjuntos del plano, después de reconocer algunos casos complicados. Ver Maßproblem
Aquí hay algunos enlaces históricos si desea ver los primeros métodos.
Michael Hardy