Error de signo en el tensor de impulso de energía de la ecuación de Klein-Gordon

Recientemente entendí que el tensor de impulso de energía se puede calcular mediante:

$$\begin{equation} T_{\mu \nu}=\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu \nu}}.\tag{1} \end{equation}$$

Así que considera la acción

$$\begin{equation} S_m=\int d^4x\sqrt{-g}\times \frac{1}{2}(g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi-m^2\phi^2).\tag{2} \end{equation}$$

Aquí estoy usando el$(+,-,-,-)$Convención de signos de Minkowski. Variando esta acción con respecto a$g^{\mu\nu}$, obtuve (el factor de$\frac{1}{2}$eliminado temporalmente):

$$\begin{equation} \begin{split} &\quad \frac{\delta \sqrt{-g}}{\delta g^{\mu \nu}}(g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi-m^2\phi^2) + \sqrt{-g} \frac{\delta}{\delta g^{\mu \nu}}(g^{\alpha \beta}\partial_{\alpha}\phi \partial_{\beta}\phi)\\ &=-\frac{\sqrt{-g}}{2}g_{\mu\nu}(g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi-m^2\phi^2) + \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2}\delta_{\mu}^{\alpha}\delta_{\nu}^{\beta}+\frac{1}{2}\delta_{\nu}^{\alpha}\delta_{\mu}^{\beta} \right)\partial_{\alpha}\phi \partial_{\beta}\phi \\ &=\sqrt{-g}\left( \partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}(g^{\alpha \beta}\partial_{\alpha}\phi \partial_{\beta}\phi-m^2\phi^2)\right) \end{split}\tag{3} \end{equation}$$

cuyos rendimientos:

$$T_{\mu \nu} = \partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}(g^{\alpha \beta}\partial_{\alpha}\phi \partial_{\beta}\phi-m^2\phi^2)\tag{4}$$ y es consistente con la dada por el teorema de Noether.

Pero si escribo la acción como

$$\begin{equation} S_m=\int d^4x\sqrt{-g}\times \frac{1}{2}(g_{\mu \nu}\partial^{\mu}\phi \partial^{\nu}\phi-m^2\phi^2)\tag{5} \end{equation}$$

entonces la identidad:

$$\delta g_{\mu \nu} = - g_{\mu \alpha} g_{\nu \beta} \delta g^{\alpha \beta}\tag{6}$$ ya que para estar introduciendo un signo menos adicional para que el tensor de momento de energía sea $$T_{\mu \nu} = -\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi - \frac{1}{2} g_{\mu \nu}(g^{\alpha \beta}\partial_{\alpha}\phi \partial_{\beta}\phi-m^2\phi^2).\tag{7}$$

es eso

$$g_{\mu \nu}\partial^{\mu}\phi \partial^{\nu}\phi \neq g^{\mu \nu}\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi\tag{8}$$ en GR o he hecho algo mal? (Nunca antes había estudiado GR, aprecio mucho si alguien encuentra otras cosas que he hecho mal)