He visto y leído mucho sobre el tema de la relatividad general y la geometría detrás de ella. Estoy seguro de que puedo derivar una aproximación del tensor de tensión-energía-momentum con solo el tensor métrico, pero si me dieran el tensor de tensión-energía-momentum no estoy seguro de cómo volvería a encontrar la métrica. . ¿Cómo puedo usar las ecuaciones de campo de Einstein para encontrar el tensor métrico? ¿Tendría que expandir toda la notación? ¿O hay alguna ecuación que pueda conectar a mi computadora para obtenerla? ¿O hay alguna otra manera?
Como describió, si tiene una métrica, entonces también tiene la variedad y todos los puntos en ella, y puede usar la métrica para calcular el tensor de Einstein en cada punto, y luego multiplicar por una constante escalar para obtener el estrés. tensor de energía (suponiendo que no hay constante cosmológica).
Pero la dirección inversa es muy diferente. Por ejemplo, si comenzó con la variedad (pero nadie le dio la métrica, solo el espacio topológico) y luego tuvo un tensor de tensión-energía definido en cada punto de su variedad, ya tiene mucho ya que tiene la variedad. . Entonces, esto podría ser demasiada información y se consideraría una trampa. Tampoco estoy seguro de que sea suficiente información. El tensor de tensión-energía es el término fuente, es como en el electromagnetismo si alguien te da la carga y la corriente, eso no es suficiente para encontrar los campos, también necesitas condiciones de contorno.
Veamos un ejemplo simple pero problemático. tu multiplicidad es , su tensor de tensión-energía es . Hay muchas métricas posibles. Podrías tener una métrica correspondiente a una onda gravitacional que viaja a la izquierda, otra a la derecha, una hacia arriba, una hacia abajo, una hacia adelante y otra hacia atrás. O simplemente un espacio plano vacío, el espacio-tiempo de la relatividad especial. Esto es completamente como la situación sin carga y sin corriente, es posible que no haya campos ni una onda electromagnética que vaya en ninguna dirección. Simplemente no es suficiente información.
Entonces, tener la variedad podría ser "hacer trampa" porque es "demasiada" información, pero incluso tener la variedad y el tensor de tensión-energía podría no ser suficiente información para obtener una solución única.
Si tu pregunta es acerca de cómo la gente lo resuelve. La gente busca soluciones y encuentra muchas (aunque es bastante difícil). Y buscan soluciones que describan adecuadamente las configuraciones experimentales y las observaciones.
Y sí, las soluciones numéricas son un camino a seguir. Todavía puede haber muchas o ninguna solución dependiendo de su configuración, incluso cuando se hace numéricamente. Y los cálculos son muy, muy difíciles de hacer bien, o incluso de hacerlo bien.
timeo