¿Cada solución de las ecuaciones de campo de Einstein es única?

La ecuación de Einstein es

$$G_{ab} = 8 \pi T_{ab}.$$

El lado izquierdo de la ecuación,$G_{ab}$, se llama el tensor de Einstein . Es una expresión que involucra segundas derivadas de la métrica,$g_{ab}.$

El lado derecho de la ecuación,$T_{ab}$, se denomina tensor de tensión-energía . Cada tensor de tensión-energía está asociado con una configuración de materia única.

Dada una configuración específica de la materia,$T_{ab}$, podemos especificar completamente$G_{ab}.$Pero$G_{ab}$implica derivados de la métrica, no la métrica en sí. Entonces especificando$G_{ab}$no especifica de forma única la métrica. De hecho, existen múltiples métricas diferentes que pueden dar lugar al mismo tensor de Einstein y, por lo tanto, a la misma configuración de la materia. Entonces, la respuesta a su primera pregunta es no , es posible tener múltiples métricas diferentes con la misma configuración de materia.

Dada una métrica específica,$g_{ab}$, podemos especificar completamente$G_{ab}$tomando derivados. Desde$T_{ab} = G_{ab} / 8 \pi$, al especificar una métrica también se especifica completamente el tensor de tensión-energía y, por lo tanto, la configuración de la materia. Entonces, la respuesta a su segunda pregunta es no , no es posible tener una métrica correspondiente a múltiples configuraciones de materia.

Editar: como señala el usuario Timaeus en los comentarios, el tensor de tensión-energía$T_{ab}$no está asociado con una configuración de materia única. Por ejemplo, no lleva información sobre la carga eléctrica. Desde la perspectiva de GR puro, esto es irrelevante, ya que no afecta la curvatura del espacio-tiempo. Sin embargo, cuando se consideran los efectos no gravitatorios (como las fuerzas electrostáticas, etc.), la afirmación "cada tensor de tensión-energía está asociado con una configuración de materia única" no se sostiene.