Coordenadas de Fermi para una métrica de Friedman Robertson Walker

Question

Coordenadas de Fermi para una métrica de Friedman Robertson Walker

Física
cosmología
convenciones
tensor-métrico
sistemas coordinados
relatividad general

Virgo

Estoy tratando de derivar la fórmula de coordenadas normales de Fermi para un universo FRW dado en la ecuación. (4) de un artículo de Nicolis et al (2008) :

d s^{2} \approx - [1 - (\dot{H} + H^{2}) | X |^{2}] d t^{2} + [1 - \frac{1}{2} H^{2} | X |^{2}] d X^{2}

$ds^2\approx -[1-(\dot{H}+H^2)|{\bf x}|^2]dt^2+[1-{1\over 2}H^2|{\bf x}|^2]d{\bf x}^2$

Comienzan con una métrica FRW:

d s^{2} = - d τ^{2} + a^{2} (τ) d y^{2}

$ds^2=-d\tau^2+a^2(\tau)d{\bf y}^2$ y realizar el cambio de coordenadas

τ = t - \frac{1}{2} H | X |^{2}, y = \frac{X}{a} [1 + \frac{1}{4} H^{2} | X |^{2}],

$\tau=t-{1\over 2}H|{\bf x}|^2, \quad {\bf y}={{\bf x}\over a} [1+{1\over 4}H^2|{\bf x}|^2],$ Para derivar su ecuación. (4), utilizo la fórmula de transformación métrica dada en la ecuación. (5.69) de la Cosmología Moderna de Dodelson :

{\tilde{gramo}}_{α β} (\tilde{X}) \frac{\partial {\tilde{X}}^{α}}{\partial X^{m}} \frac{\partial {\tilde{X}}^{β}}{\partial X^{v}} = {gramo}_{m v} (X) .

$\tilde{g}_{\alpha\beta}(\tilde{x}){\partial \tilde{x}^\alpha \over \partial x^\mu}{\partial \tilde{x}^\beta \over \partial x^\nu}=g_{\mu\nu}(x).$ Tomo las coordenadas de tilde como las de FRW. Entonces para

μ = ν = 1

$\mu=\nu=1$ , Tengo:

\frac{1}{dieciséis} | X |^{2} (9 (X^{1})^{2} + (X^{2})^{2} + (X^{3})^{2}) H^{4} + \frac{1}{2} | X |^{2} H^{2} + 1 = {gramo}_{1, 1}

$\frac{1}{16} |{\bf x}|^2 \left(9 (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2\right) H^4+\frac{1}{2} |{\bf x}|^2 H^2+1=g_{1,1}$ Entonces tomo el límite que

| \vec{x} | H ≪ 1

$|\vec{x}| H\ll 1$ Llegar

{gramo}_{11} \approx 1 + \frac{1}{2} H^{2} | X |^{2}

$g_{11}\approx1 + {1\over 2} H^2 |{\bf x}|^2$ que difiere de su resultado por un signo menos. Cualquier ayuda para explicar esta discrepancia sería muy apreciada.

Actualización: Pude obtener su resultado usando el paquete TensoriaCalc de Mathematica que tiene un comando de cambio de coordenadas. Esto confirma que Nicolis et al son correctos y estoy haciendo algo mal en mi cálculo.

Virgo

@igael creo que nunca lo he hecho

g_{11} \approx 1 - \frac{1}{2} H^{2} x_{1}^{2}

$g_{11}\approx 1-{1\over 2}H^2x_1^2$ .

usuario46925

@Virgo: Me equivoqué, lo siento. Con

z = \frac{x_{1}^{2} H^{2}}{2}, p = | \vec{x} |^{2} H^{2}

$z =\frac{x_1^2 H^2}{2} , p=|\vec{x}|^2 H^2$ , Yo obtengo

g_{11} = \frac{p^{2}}{16} + \frac{p z}{2} + \frac{p}{2} + z^{2} + 1 \approx 1 + \frac{p}{2} + (z^{2} + \frac{p z}{2})

$g_{11} = \frac{p^2}{16}+\frac{p z}{2}+\frac{p}{2}+z^2+1 \approx 1+\frac {p}{2}+(z^2+\frac {p z}{2})$ en lugar de

\approx 1 + \frac{p}{2}

$\approx 1+\frac{p}{2}$ o

\approx 1 - \frac{p}{2}

$\approx 1-\frac{p}{2}$ . Si no es demasiado aburrido para usted, ¿podría ampliar su aproximación?

usuario46925

@Virgo: mathjax no muestra lo mismo en los comentarios... sin mathjax: g11= p²/16 + pz/2 + p/2 + z² + 1 (seguido de la representación correcta)

Virgo

@igael Creo que puedes dejar el

z^{2}

$z^2$ y

p z

$pz$ término como estamos asumiendo

x H ≪ 1

$xH\ll1$

usuario46925

formalmente, es p que es muy pequeño. En p²/16 + pz/2 + p/2 + z², p² es muy pequeño, pz también y z², no sé (no sé el formalismo implícito con enlaces

x_{1}

$x_1$ a

| \vec{x}

$|\vec{x}$ ). lo siento y gracias

flippiefanus

Con solo mirar estas expresiones, uno nota un punto arriba

H

$H$ en la primera expresión. Supongo que la notación significa la derivada temporal de

H

$H$ , que por lo tanto asume

H

$H$ tiene una dependencia del tiempo. A partir de la 4ª expresión también se puede ver donde esta

H

$H$ -punto vendría de para el

g_{11}

$g_{11}$ componente. Este

H

$H$ -parece que falta un punto en la sexta expresión.

Virgo

@flippiefanus Estoy tratando de derivar el segundo término de la RHS de la primera expresión, no el primer término de la RHS.

Respuestas (1)

Coordenadas de Fermi para una métrica de Friedman Robertson Walker

@igael creo que nunca lo he hecho $g_{11}\approx 1-{1\over 2}H^2x_1^2$ .
@Virgo: Me equivoqué, lo siento. Con $z =\frac{x_1^2 H^2}{2} , p=|\vec{x}|^2 H^2$ , Yo obtengo $g_{11} = \frac{p^2}{16}+\frac{p z}{2}+\frac{p}{2}+z^2+1 \approx 1+\frac {p}{2}+(z^2+\frac {p z}{2})$ en lugar de $\approx 1+\frac{p}{2}$ o $\approx 1-\frac{p}{2}$ . Si no es demasiado aburrido para usted, ¿podría ampliar su aproximación?
@Virgo: mathjax no muestra lo mismo en los comentarios... sin mathjax: g11= p²/16 + pz/2 + p/2 + z² + 1 (seguido de la representación correcta)
@igael Creo que puedes dejar el $z^2$ y $pz$ término como estamos asumiendo $xH\ll1$
formalmente, es p que es muy pequeño. En p²/16 + pz/2 + p/2 + z², p² es muy pequeño, pz también y z², no sé (no sé el formalismo implícito con enlaces $x_1$ a $|\vec{x}$ ). lo siento y gracias
Con solo mirar estas expresiones, uno nota un punto arriba $H$ en la primera expresión. Supongo que la notación significa la derivada temporal de $H$ , que por lo tanto asume $H$ tiene una dependencia del tiempo. A partir de la 4ª expresión también se puede ver donde esta $H$ -punto vendría de para el $g_{11}$ componente. Este $H$ -parece que falta un punto en la sexta expresión.
@flippiefanus Estoy tratando de derivar el segundo término de la RHS de la primera expresión, no el primer término de la RHS.

Juan Donne · Answer 1

Hay una pequeña sutileza. Como afirman los autores en el artículo, en la ley de transformación dada $a$ y $H$ se evalúan en $t$ en lugar de en $\tau$ . Por lo tanto, la fórmula que obtienes es casi correcta, pero $a(\tau)$ y $a(t)$ no canceles, así que en realidad

{gramo}_{11} = {(\frac{a (τ)}{a (t)})}^{2} (1 + \frac{1}{2} H^{2} | X |^{2})

$g_{11} = \left(\frac{a(\tau)}{a(t)}\right)^2\left(1+\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2\right)$ Luego, usando la ley de transformación anterior,

a (τ) = a (t - \frac{1}{2} H | X |^{2}) \approx a (t) - \frac{1}{2} H | X |^{2} \dot{a} (t)

$a(\tau)=a\left(t-\frac{1}{2}H|\mathbf x|^2\right)\approx a(t)-\frac{1}{2}H|\mathbf x|^2 \dot a(t)$ Por lo tanto

{gramo}_{11} = {(1 - \frac{1}{2} H^{2} | X |^{2})}^{2} (1 + \frac{1}{2} H^{2} | X |^{2}) \approx 1 - \frac{1}{2} H^{2} | X |^{2}

$g_{11} = \left(1-\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2 \right)^2\left(1+\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2\right)\approx 1-\frac{1}{2}H^2|\mathbf x|^2$

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