Equivalencia de definiciones de ADM Masa

Primero, intentemos limpiar un poco la expresión MTW deshaciéndonos de las variantes manifiestamente coordinadas, introduciendo una contracción propia, una integral propia sobre la superficie en el infinito y la unidad normal$r^{a}$a la superficie en el infinito:

$$M_{ADM}={16\pi}\oint\sqrt{\gamma}\,\,d^{2}x \gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\gamma_{ab,c}\right)$$

Sin embargo, esto solo es válido no solo para espacios planos asintóticamente, sino solo para coordenadas cartesianas asintóticamente. Puedes comprobarlo por ti mismo calculando la ``Masa ADM'' de la métrica tridimensional plana en coordenadas polares:

$\begin{align*} 16\pi M_{ADM}&=\lim_{r\rightarrow\infty}\oint r^{2}\sin\theta \gamma^{ab}\left(\gamma_{ra,b}-\gamma_{ab,r}\right)d\theta d\phi\\ &=\lim_{r\rightarrow\infty}4\pi r^{2}\left(\gamma^{rr}\gamma_{rr,r}-\gamma^{ab}\gamma_{ab,r}\right)\\ &=\lim_{r\rightarrow\infty}4\pi r^{2}\left(0-\frac{4}{r}\right)\\ &=-\infty \end{align*}$

Obviamente, esto es incorrecto y solo un artefacto de la forma en que se comportan las coordenadas esféricas en el infinito. Para solucionar esto, siempre debemos restar la divergencia de la masa ADM del espacio-tiempo plano de la masa ADM del sistema de coordenadas en cuestión. Entonces, ese es el origen de la$H$y$H_{0}$términos. Él$H$término es la curvatura extrínseca del espacio en cuestión, mientras que$H_{0}$es la curvatura extrínseca del espacio-tiempo plano. Ahora, solo es cuestión de mostrar que la expresión dentro de la integral es igual a$H$.

Típicamente, defino la curvatura extrínseca como$\gamma^{ab}\nabla_{a}r_{b}$. Entonces, vamos a la aventura:

$\begin{align*} H&=\gamma^{ab}\nabla_{a}r_{b}\\ &=\gamma^{ab}\left(\partial_{a}r_{b}-\Gamma_{ab}{}^{c}r_{c}\right)\\ &=\gamma^{ab}\partial_{a}r_{b}-\frac{1}{2}\gamma^{ab}\gamma^{cd}\left(2\gamma_{ad,b}-\gamma_{ab,d}\right)r_{c}\\ &=\gamma^{ab}\partial_{a}\left(\gamma_{bc}r^{c}\right)-\gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\frac{1}{2}\gamma_{ab,c}\right)\\ &=\delta^{a}{}_{c}\partial_{a}r^{c} + \gamma^{ab}r^{c}\gamma_{bc,a}-\gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\frac{1}{2}\gamma_{ab,c}\right)\\ &=\partial_{a}r^{a}-\frac{1}{2}\gamma^{ab}r^{c}\left(\gamma_{ac,b}-\gamma_{ab,c}\right) \end{align*}$

Ahora, notamos que en cualquier sistema de coordenadas adaptado para que la coordenada$r=constant$que determina la superficie escogida para una de las coordenadas, tenemos, necesariamente$r^{a}=(1,0,0)$, notamos eso$\partial_{a}r^{a}=0$, por lo que concluimos que las dos expresiones para la masa de ADM son equivalentes.

Su segunda expresión, cuando la integral no se toma en el infinito, generalmente se conoce como la masa (cuasilocal) de Brown-York o Hawking-Horowitz. Está estrechamente relacionado con la masa Liu-Yau . Para una esfera de radio finito, no es igual a la integral ADM en general.

En el artículo original de Brown y York , afirmaron pero no proporcionaron (hasta donde puedo decir) una prueba detallada del comportamiento asintótico de la masa cuasilocal. Pero si considera un espacio-tiempo asintóticamente plano y toma coordenadas euclidianas asintóticas, un cálculo directo debería mostrar que el$K_0\to 0$como una esfera tiende a "infinito" (dado que las esferas de coordenadas en el espacio euclidiano tienen una curvatura media que decae a 0 a medida que aumenta el radio), y las condiciones de decaimiento en la métrica y la segunda forma fundamental de la división espacial deberían garantizar que la diferencia entre$K$y la expresión derivada coordinada tiende a cero. (Recuerde que la curvatura media del espacio-tiempo se puede calcular a partir de la curvatura media del segmento espacial incrustado en el espacio-tiempo junto con la curvatura media de las dos esferas incrustadas en el segmento espacial).

Brewin también realizó cálculos similares .

La convergencia de la masa Brown-York a la masa ADM también se recupera en este artículo de Miao, Shi y Tam .

La pregunta se da como un problema de práctica en el libro de Poisson "Relativists Toolkit" (p. 159, problema #7) junto con algunos consejos útiles.

el tensor$\gamma_{ab}$(que no es un tensor en absoluto) debe definirse de la siguiente manera: Sea$h_{ab}$ser la 3-métrica inducida en la hipersuperficie similar al espacio$\Sigma$, y sea en su límite,$\partial \Sigma$, ser definido el dos métrico$\sigma_{ab}$. Luego define

$$\gamma_{ab}=h_{ab}-h^{(0)}_{ab}$$ donde $h^{(0)}_{ab}$es la métrica inducida en el límite de Minkowski (la condición asintótica da $\sigma_{ab}=\sigma^{(0)}_{ab}$).

Además, defina la derivación$D_a$ser la derivada covariante asociada a la métrica plana$h^{(0)}_{ab}$. Después,

$$M_{ADM}=\frac1{16\pi}\oint_{\partial \Sigma}\sqrt{\sigma}d^2\theta\ r^a(D^b\gamma_{ab}-D_a\gamma)$$ que se muestra por cálculo directo para igualar $$M_{ADM}=-\frac1{16\pi}\oint \sqrt{\sigma}d^2\theta\ r^ch^{(0)ab}\ \partial_c\gamma_{ab}$$ y esto es lo mismo que $M_{ADM}=-\frac1{8\pi}\oint \sqrt{\sigma}d^2\theta\ (H-H_0)$a través de una comparación directa. (En concreto, evaluando $H=\partial_a r^a+\frac12 r^ch^{(0)ab}\partial_c h_{ab}$)