En GR, ¿por qué la variedad de espacio-tiempo debería ser diferenciable?

Para poder definir una métrica, necesita vectores tangentes, ya que estos son los argumentos de la métrica, y para tener vectores tangentes necesita diferenciabilidad.

Porque si su variedad no es diferenciable (e incluso entonces, al menos$C^3$), terminas haciendo teoría de distribución no lineal y teniendo que usar álgebras de Colombeau, y créeme, no quieres eso.

El problema básico con las variedades no diferenciables es que, a diferencia del electromagnetismo, la relatividad general no es lineal, lo que dificulta dar sentido a las distribuciones. Terminas con preguntas como "¿Qué es$\delta(x)^2$?", que no tienen respuestas en la teoría básica de las distribuciones. Las álgebras de Colombeau son un marco moderno para tratar este tipo de problemas, y puede encontrar aplicaciones aquí , por ejemplo.

Una respuesta muy breve podría ser que, en la relatividad general, el espacio-tiempo se puede curvar. Para estimar cuánto está curvado, debe poder calcular la tasa de cambio, eso se hace diferenciando el sistema de coordenadas que está utilizando para mapear cada región del espacio-tiempo con la que está tratando.

Si solo tuviera un gráfico de coordenadas, entonces no necesitaría pasar nunca de un gráfico a otro. Por lo tanto, no tendría que preocuparse por si su transición fue continua, diferenciable,$C^2$o suave.

Pero si tiene dos gráficos y necesita dos gráficos, en algunos eventos estarán en la intersección de los dos gráficos. Y en el único gráfico, es posible que tenga una curva parametrizada por el tiempo adecuado. Y tener un campo vectorial. Y el campo vectorial podría coincidir con la tangente de la curva y tener una longitud métrica igual a alguna masa$m.$Y todo estaría bien, todo en un gráfico y todas las derivadas y las longitudes se calculan usando ese sistema de coordenadas y la métrica en el sistema de coordenadas.

Pero podrías imaginarte haciendo un procedimiento similar en el otro sistema de coordenadas. Todo sería igual de bonito.

Pero ¿qué pasa en la superposición? Si un sistema de coordenadas para la superposición dice que el campo vectorial es tangente a la línea universal, ¿estaría de acuerdo el otro? No.

En general no lo haría. Puede que ni siquiera esté de acuerdo en que la línea del mundo tiene una tangente en todos los eventos que el otro dijo que tenía. Pero si los mapas de transición son diferenciables, entonces están de acuerdo.

Si los mapas de transición son diferenciables en segundo lugar, entonces los dos gráficos podrían estar de acuerdo en si las segundas derivadas coinciden. Eso es esencial para GR porque hay tensores físicos como el Tensor de Einstein que corresponden a las segundas derivadas. Desea que dos gráficos estén de acuerdo sobre si existe un campo de tensor de rango dos y si es el Tensor de Einstein.

Hay una derivación simple:

La curvatura del espacio-tiempo es un producto de la gravitación. La gravitación es una fuerza. La fuerza del campo gravitacional decrece continuamente al aumentar el radio, proporcionalmente al cuadrado del radio. La función correspondiente es continua y derivable.

Una vez que vimos que la función de la fuerza gravitacional (y por lo tanto de la curvatura del espacio-tiempo) es diferenciable con respecto a un objeto de masa y con respecto a una dirección (una dimensión), podemos extender esta idea sin problema a un universo con varios objetos de masa y varias dimensiones espaciales. En resumen: los campos en general son diferenciables y la curvatura del espacio-tiempo puede asimilarse.