Álgebra de simetría asintótica

Entonces, después de mucha investigación y toneladas y toneladas de artículos que he leído, finalmente tengo una idea de cómo resolver las ecuaciones que me darán candidatos para el grupo de simetría asintótica para la correspondencia Kerr/CFT. Uno tiene condiciones de frontera$h_{\mu\nu}$, y métrica que se comporta como$g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, dónde$\bar{g}_{\mu\nu}$es la métrica de fondo (en este caso se toma como la métrica Kerr extrema cercana al horizonte ), y$h_{\mu\nu}$son perturbaciones (dadas).

Entonces la tarea es encontrar difeomorfismos$\xi$para lo cual esta métrica se transformará de acuerdo a

$$\bar{g}_{\mu\nu}+\mathcal{L}_\xi \bar{g}_{\mu\nu}=g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$$

Y eso se resuelve resolviendo ecuaciones

$$\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\mathcal(r^m)$$

dónde$\mathcal{O}(r^m)$son condiciones de contorno, dadas en términos de coordenadas radiales. De esto, y del hecho de que$h_{\mu\nu}=h_{\nu\mu}$Obtengo diez ecuaciones.

Ahora mi problema es este: ¿Qué tomar como ansatz para$\xi$?

En algunos periódicos, toman esto:

$$\xi^\mu=\xi^\mu_0(t,\theta,\phi)+r\xi^\mu_1(t,\theta,\phi)+\mathcal{O}(r^2)$$

Pero en ciertos artículos he encontrado que los autores toman esta forma (ver después de la ecuación 4.4 aquí , o aquí la ecuación 5.1)

$$\xi^\mu=\sum\limits_{n=-1}^\infty \xi^\mu_n r^{-n}$$

tal que tenemos contribuciones subliminales (una caída en coordenadas radiales).

Ahora, me inclino por usar el segundo, ya que el difeomorfismo dado en Guica et. al se da con términos sublíderes.

Debería resolver esto poniendo algunos términos y ver qué dice la condición de contorno. Por ejemplo tenemos

$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)$$

Eso significa que todos$\mathcal{O}(r^2)$las contribuciones se cancelarán, y solo las ecuaciones con$r$, o más pequeño$r$las contribuciones sobrevivirán. Pero la respuesta es drásticamente diferente si tomo primero o segundo ansatz.

Entonces, ¿qué tomar? ¿Estoy en el camino correcto? Si tomo el segundo, ¿de qué n debo comenzar?$n=-1$o$n=-2$?

Ah, y finalmente obtuve cómo resolver esto mirando este artículo y siguiendo cómo lo obtuvieron en el apéndice A.

EDITAR:

He estado pensando. ¿El hecho de que en su artículo, la métrica y el ansatz vayan con poderes de$v$, significa que dado que sus ecuaciones están limitadas por$\mathcal{O}(v)$en adelante todo el poder superior se cancelará entre sí? En ese caso, dado que solo estoy tomando términos sublíderes en métricas y condiciones de contorno (diferentes para cada uno de los 10 términos), y si tomo eso, mi ansatz cae como$r^{-n}$, ¿eso significa que todas las correcciones de orden inferior se cancelan?

La pregunta sigue siendo: ¿qué n tomar? Como no es lo mismo si mi$\xi$comienza con$r^2$, o$r$:\

EDIT2:

Pondré un componente para mostrar lo que estoy haciendo. Aunque creo que algo está mal, ya que obtengo ecuaciones complicadas (cuando las cosas se complican demasiado, es una especie de demostración de que las cosas podrían no ir en la dirección correcta, al menos eso es lo que me mostró la experiencia)

Entonces, mi métrica es$g_{\mu\nu}=\bar{g}_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, como se explicó anteriormente. La primera pregunta que me viene a la mente: pongo manualmente$h_{\mu\nu}$en esta expresión, o uso las condiciones de contorno dadas? podría decir eso$h_{\mu\nu}$es arbitrario, y mi métrica tiene que tener una caída de potencia de las perturbaciones, de modo que mi$tt$el componente sería

$$g_{tt}=-\Omega^2(\theta)(1+r^2(1-\Lambda^2(\theta)))+r^{-1}h_{tt}(t,\theta,\phi)+\mathcal{O}(r^{-2})\quad (\star)$$

quite$2GJ$ya que es solo un factor frente a la métrica, que no depende de ninguna de las variables ($t,r,\theta,\phi$), y no contribuye a los difeomorfismos.

Intentaré esto después de terminar lo que hice.

Sin embargo, acabo de poner las condiciones de contorno dadas. Para$tt$componente que tengo

$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)=\xi^\sigma\partial_\sigma g_{tt}+g_{\sigma t}\partial_t\xi^\sigma+g_{t\sigma}\partial_t\xi^\sigma$$

Ya que$g_{tt}$depende de$r$y$\theta$, tengo dos componentes en el primer argumento. En el segundo y tercer argumento son los mismos ya que$g_{t\phi}=g_{\phi t}$. Así que tengo

$$\xi^\theta\partial_\theta g_{tt}+\xi^r\partial_r g_{tt}+2(g_{tt}\partial_t\xi^t+g_{t\phi}\partial_t \xi^\phi)=\mathcal{O}(r^2)$$

$$(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0+\xi^\theta_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2}))(-2\Omega\Omega'+2\Omega(\Lambda\Lambda'\Omega-\Omega'(1-\Lambda^2))r^2+\mathcal{O}(r^2))+(\xi^r_{-1}r+\xi^r_0+\xi^r_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2}))(-2\Omega^2(1-\Lambda^2)r+\mathcal{O}(r))+2((-\Omega^2-\Omega^2(1-\Lambda^2)r^2+\mathcal{O}(r^2))(\partial_t\xi^t_{-1}r+\partial_t\xi^t_0+\mathcal{O}(r^{-1}))+(\Lambda^2\Omega^2r+\mathcal{O}(1))(\partial_t\xi^\phi_{-1}r+\partial_t\xi^\phi_0+\partial_t\xi^\phi_1 r+\mathcal{O}(r^{-2})))=\mathcal{O}(r^2)$$

Después de arreglar todo, y decir que todas las correcciones de$\mathcal{O}(r^2)$desaparecer, termino con

$$(\Lambda\Lambda'\Omega-\Omega'(1-\Lambda^2))\xi^\theta_{-1}-\Omega(1-\Lambda^2)\partial_t\xi^t_{-1}=0$$

Pero, este está relativamente bien, los otros a veces tienen seis o más componentes ($\xi^\mu$). Los resolveré todos y luego intentaré con$(\star)$como una suposición y ver si las cosas se simplifican...

EDITAR 3:

Así que las cosas no se están simplificando. Pero una cosa que he aprendido: necesito resolver la ecuación de Killing asintótica.

Mi próximo intento, el que creo que es un intento rápido y relativamente bueno, es simplemente ver cuáles deberían ser los órdenes principales de los componentes, de modo que satisfagan las ecuaciones asintóticas de Killing, dadas por las condiciones de contorno. Entonces intentaré hacer un cálculo explícito.

Por ejemplo (y espero estar en el buen camino) para$tt$componente que tendría

$$\mathcal{L}_\xi g_{tt}=\mathcal{O}(r^2)$$ $$\xi^\theta\partial_\theta g_{tt}+\xi^r\partial_r g_{tt}+2(g_{tt}\partial_t\xi^t+g_{t\phi}\partial_t \xi^\phi)=\mathcal{O}(r^2)$$ $$\xi^\theta\mathcal{O}(r^2)+\xi^r\mathcal{O}(r)+\mathcal{O}(r^2)\partial_t\xi^t+\mathcal{O}(r)\partial_t\xi^\phi=\mathcal{O}(r^2)$$

Entonces, para que esto sea cierto (LHS = RHS) debería haber

$$\xi^r\to\mathcal{O}(r)$$

$$\xi^\theta\to\mathcal{O}(1)$$

$$\partial_t\xi^t\to\mathcal{O}(1)$$

$$\partial_t\xi^\phi\to\mathcal{O}(r)$$

Espero estar en el camino correcto.

Tengo una pista de cómo Guica et. al lo hizo

Primero necesitamos adivinar cuáles son las simetrías y luego generar condiciones de contorno actuando con esos difeomorfismos, y luego comprobar que las cargas son finitas e integrables.

Así que es más un juego de adivinanzas que una solución exacta :S

EDITAR 4:

Hasta ahora (al resolver ecuaciones asintóticas de Killing) solo obtengo el$\xi^\theta$derecho del componente. eso es lo que tengo

$$\xi^\theta_0=\xi^\theta_{-1}r$$

que, cuando pongo el ansatz me sale

$$\xi^\theta=\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0+\xi^\theta_1r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2})$$ $$\xi^\theta=\xi^\theta_1 r^{-1}+\mathcal{O}(r^{-2})$$

que es exactamente el del artículo de Guica et. Alabama. Pero no hubo suerte con otros componentes.

Si tan solo hubiera alguna información sobre lo que necesito poner en la ecuación Asintótica Killing después del signo igual...

EDITAR 5:

Escribiré las ecuaciones que obtuve al poner$\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\mathcal{O}(r^n)$dónde$\mathcal{O}(r^n)$están dadas por las condiciones de contorno:

$$tt:\quad (\Lambda \Lambda' \Omega+(\Lambda^2-1)\Omega')\xi^\theta_{-1}+(\Lambda^2-1)\Omega \partial_t\xi^t_{-1}=0$$

$$t r:\quad (\Lambda^2-1)r(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1})+(\Lambda^2-1)r^3(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1}+\xi^t_1r^{-2}+\xi^t_2r^{-3})-$$ $$-r(\xi^t_{-1}+\xi^t_0r^{-1})+\Lambda^2\xi^\phi_{-1}+\Lambda^2r^2(\xi^\phi_{-1}+\xi^\phi_0r^{-1}+\xi^\phi_1r^{-2})+\partial_t\xi^r_{-1}=0$$

$$t\theta:\quad (\Lambda^2-1)r^2(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0+\partial_\theta\xi^t_1r^{-1}+\partial_\theta\xi^t_2r^{-2})-(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0)+$$ $$+\Lambda^2r(\partial_\theta\xi^\phi_{-1}r+\partial_\theta\xi^\phi_0+\partial_\theta\xi^\phi_2r^{-1})+(\partial_t\xi^\theta_{-1}r+\partial_t\xi^\theta_0)=0$$

$$t\phi:\quad (2\Lambda(\Lambda'\Omega+\Lambda\Omega'))(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)+\Lambda^2\Omega\xi^r_{-1}+$$ $$+(\Omega(\Lambda^2-1))(\partial_\phi\xi^t_{-1}r+\partial_\phi\xi^t_0+\partial_\phi\xi^t_1r^{-1})-\Omega\partial_\phi\xi^t_{-1}+$$ $$+\Lambda^2\Omega(\partial_\phi\xi^\phi_{-1}r+\partial_\phi\xi^\phi_0)+\Lambda^2\Omega(\partial_t\xi^\phi_{-1}r+\partial_t\xi^t_0)+\Lambda^2\Omega\partial_t\xi^\phi_{-1}=0$$

$$rr:\quad \xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0=0$$

$$r\theta:\quad \partial_\theta\xi^r_{-1}+(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)=0$$

$$r\phi:\quad (\xi^t_{-1}r+\xi^t_0)+\xi^\phi_{-1}=0$$

$$\theta\theta:\quad \Omega'(\xi^\theta_{-1}r+\xi^\theta_0)+\Omega(\partial_\theta\xi^\theta_{-1}r+\partial_\theta\xi^\theta_0)=0$$

$$\theta\phi:\quad (\partial_\phi\xi^\theta_{-1}r+\partial_\phi\xi^\theta_0)+\Lambda^2r(\partial_\theta\xi^t_{-1}r+\partial_\theta\xi^t_0+\partial_\theta\xi^t_1r^{-1})+$$ $$+\Lambda^2(\partial_\theta\xi^\phi_{-1}r+\partial_\theta\xi^\phi_0)=0$$

$$\phi\phi:\quad (\Omega\Lambda'+\Lambda\Omega')\xi^\theta_{-1}r+\Lambda\Omega r(\partial_\phi\xi^t_{-1}r+\partial_\phi\xi^t_0)+$$ $$+\Lambda\Omega\partial_\phi\xi^\phi_{-1}r=0$$

El problema es que la única ecuación de la que puedo obtener información sobre cómo debería comportarse mi vector en componentes es$rr$, de donde obtengo la forma general de$\xi^\theta$componente del difeomorfismo.

De$r\theta$entiendo que el$\xi^r_{-1}$término es una constante que no depende de$\theta$, y$\theta\theta$la ecuación solo confirmará que$rr$uno es correcto

Supongo que por el hecho de que$\xi^r_{-1}$no es cero podría decir que el$r$componente comenzará en ese término (como en el artículo).

EDITAR 6:

He agregado la recompensa para crear conciencia sobre esto, si alguien sabe si lo que hice hasta ahora es correcto y qué hacer a continuación, por favor dígalo :)