Compruebe si los vectores Killing satisfacen la ecuación Killing o no.

Estoy revisando el documento de correspondencia Kerr/CFT nuevamente, y estoy en la sección donde los autores especifican los vectores Killing para la métrica Kerr extrema del horizonte cercano (en breve, NHEK).

la métrica es

$$d\bar{s}^2=2GJ\Omega^2\left(-(1+r^2)d\tau^2+\frac{dr^2}{1+r^2}+d\theta^2+\Lambda^2(d\varphi+rd\tau)^2\right)$$

Dónde

$$\Omega^2\equiv\frac{1+\cos^2\theta}{2},\quad\Lambda\equiv\frac{2\sin\theta}{1+\cos^2\theta}$$

Se dice que la métrica ha mejorado$SL(2,\mathbb{R})\times U(1)$grupo de isometría. Ahora, ¿qué es exactamente la simetría mejorada? Solo encuentro mencionarlo en el contexto de la teoría de cuerdas, por lo que no estoy seguro de qué hacer con él.

Si ignoramos eso por un momento, mirando a los grupos en cuestión,$SL(2,\mathbb{R})$tiene 3 generadores ($Sl(n,\mathbb{R})$tiene$n^2-1$elementos), y$U(1)$Tiene uno.

el rotacional$U(1)$la simetría es generada por Killing vector:

$$\xi_0=-\partial_\varphi$$

Si bien las traducciones de tiempo se convierten en parte de una mejora$SL(2,\mathbb{R})$grupo de isometría generado por los vectores Killing

$$\xi_1=\frac{2r\sin\tau}{\sqrt{1+r^2}}\partial_\tau-2\sqrt{1+r^2}\cos\tau\partial_r+\frac{2\sin\tau}{\sqrt{1+r^2}}\partial_\varphi$$

$$\xi_2=-\frac{2r\cos\tau}{\sqrt{1+r^2}}\partial_\tau-2\sqrt{1+r^2}\sin\tau\partial_r-\frac{2\cos\tau}{\sqrt{1+r^2}}\partial_\varphi$$

$$\xi_3=2\partial_\tau$$

Ahora quería intentar encontrarlos, pero resultó ser todo un desafío (puede que al final lo intente). Entonces, en cambio, quería verificar si satisfacen la ecuación de Killing. Otra forma de verificar si son vectores Killing es verificar si la derivada de Lie de la métrica a lo largo de los vectores Killing es 0

$$\mathcal{L}_\xi g_{\mu\nu}=\xi^\sigma\partial_\sigma g_{\mu\nu}+g_{\sigma\nu}\partial_\mu\xi^\sigma+g_{\mu\sigma}\partial_\nu\xi^\sigma=0$$

Así que pongo los dos más simples ($\xi_0$y$\xi_3$), y dan 0 para cada componente. Lindo.

intento con$\xi_2$, y obtengo componentes distintos de cero.

Entonces, ¿qué hay de malo en mi interpretación?

Hice el cálculo a mano y con RGTCel paquete en Mathematica, usando LieDel cual calcula la derivada de Lie, e hice un código que calcula la ecuación de Killing, y todavía obtuve un resultado distinto de cero.

---

Editar

Escribiré lo que obtengo por$\tau\tau$componente.

Entonces, mi vector Killing$\xi_2$tiene tres componentes distintas de cero

$\xi^\tau=\frac{2r\sin\tau}{\sqrt{1+r^2}}$,$\xi^r=-2\sqrt{1+r^2}\cos\tau$,$\xi^\varphi=\frac{2\sin\tau}{\sqrt{1+r^2}}$

Y el$\tau\tau$parte de la derivada de Lie es

$$\mathcal{L}_\xi g_{\tau\tau}=\xi^\sigma\partial_\sigma g_{\tau\tau}+g_{\sigma\tau}\partial_\tau\xi^\sigma+g_{\tau\sigma}\partial_\tau\xi^\sigma$$

Solo los componentes métricos distintos de cero que se pueden usar son$g_{\tau\tau}$, y$g_{\tau\varphi}=g_{\varphi\tau}$.

Ellos son

$$g_{\tau\tau}=-2GJ\Omega(\theta)^2(1+r^2(1-\Lambda(\theta)^2))$$

$$g_{\varphi\tau}=4GJr\Omega(\theta)^2\Lambda(\theta)^2$$

Entonces, para la primera parte de la derivada de Lie, ya que$g_{\tau\tau}$depende solo de$r$y$\theta$mi$\xi^\sigma$es solo$\xi^r$, desde$\xi^\theta=0$. Y la segunda parte tenemos 2 veces el ($g_{\tau\tau}\partial_\tau\xi^\tau+g_{\varphi\tau}\partial_\tau\xi^\varphi$). Lo cual, después de algunas simplificaciones se convierte en

$$\mathcal{L}_\xi g_{\tau\tau}=\frac{8 G J r \Lambda (\theta )^2 \Omega (\theta )^2 \cos (\tau )}{\sqrt{r^2+1}}$$