He estado leyendo sobre GR recientemente y puedo seguir la derivación de una solución de Schwarzschild a su forma final y bien conocida en coordenadas de Schwarzschild.
El argumento de la estabilidad de la órbita (para una partícula de prueba masiva) también es claro: no puede existir una órbita circular estable para .
Lo que suele seguir después de eso es un cálculo para la Tierra:
radio de la tierra .
Entonces, comparándolos, uno nota que no es un problema para la Tierra porque 0.03m está muy por debajo de la superficie.
Mi pregunta es: ¿cómo podemos hacer tal comparación? El radio de un planeta se mide en coordenadas esféricas pero en está en coordenadas de Schwartzschild: al derivar la solución de Schwartschild, se comienza con coordenadas esféricas pero se realizan muchas transformaciones de coordenadas, por lo que el resultado es realmente una función muy complicada de un radio esférico y comparar sus valores parece incorrecto.
La coordenada de Schwarzschild se define de modo que el área de un la superficie es con el área siendo evaluada usando la métrica en fijo . Esto significa que uno puede considerar nuestro radio de espacio-tiempo plano (en una muy buena aproximación) como coincidente con la coordenada de Schwarzschild una vez que estemos fuera del cuerpo de la tierra. (La métrica de Schwarzschild no se aplica dentro de la tierra)
La comparación sigue siendo válida, aunque lo que significa está un poco escondido. La coordenada r de Schwarzschild se define como la raíz cuadrada del área de superficie de una esfera a esa distancia dividida por . En otras palabras .
Así que diciendo que el radio de la tierra es mayor que dice que la superficie de la tierra es mayor que , lo cual es claramente cierto. Y diciendo que el radio de la Tierra es está diciendo que su área de superficie es lo cual si nos aproximamos a la tierra como esféricamente simétrica y no giratoria es aproximadamente cierto.
elio fabri
usuario4552