Equilibrio inestable en un péndulo

Si inicialmente le das a la lenteja una velocidad$\sqrt{4rg}$, ¡realmente tomará un tiempo infinito para que el bob llegue a la cima! Una velocidad un poco menor hará que la lenteja se detenga antes y regrese hacia el punto inicial, mientras que una velocidad un poco mayor hará que la lenteja pase por encima (el movimiento continuará, aumentando la velocidad, hacia el otro lado ) .

En cuanto al equilibrio metaestable : por pequeña que sea una perturbación (movimiento térmico, ...), la posición superior es un equilibrio inestable. Recuerde que la noción de equilibrio es local : el punto más bajo del círculo es estable, porque un pequeño desplazamiento hará que la lenteja regrese; posición superior en una inestable, de modo que cuando la lenteja abandone ese punto, tenderá a alejarse cada vez más (en el caso presente, la lenteja está unida por la varilla, pero se aplica el mismo concepto: simplemente no girará hacia atrás a la posición superior). Desde un punto de vista práctico (es decir, realista), ¡es difícil mantener el bob en el primer lugar!

Un poco de matemáticas para ver por qué se necesita un tiempo infinito para ir desde la posición inferior a la superior, cuando la velocidad inicial es suficiente para llevar la lenteja allí. Dejar$\theta$ser el ángulo que determina la posición de la lenteja: si inicialmente$\theta=0$, la posición superior está en$\theta=\pi$. Velocidad linear$v=r\dot{\theta}$, para que por

$$v_0=\sqrt{4gr} \implies \dot{\theta}_0= \frac{v_0}{r}=\sqrt{\frac{4g}{r}}$$ La conservación de la energía se puede escribir como: $$E=\frac{1}{2} mr^2\dot{\theta}^2 + mgr(1-\cos(\theta))$$ De esta manera, la energía potencial es 0 en la posición inicial, mientras que la energía cinética es $$\frac{1}{2}mr^2\big(\frac{4g}{r}\big)=2mgr$$ La energía es una constante de movimiento, por lo que en cada instante de tiempo $E=2mgr$. Resulta que: $$\frac{2mgr}{\frac{1}{2}mr^2}=\dot{\theta}^2 + \frac{mgr}{\frac{1}{2}mr^2}(1-\cos(\theta))$$ de modo que la ecuación de $\dot{\theta}$[usando $1-\cos(x)=2\sin^2(x/2)$] es $$\dot{\theta} = \sqrt{\frac{4g}{r}}\sqrt{1-\sin^2(\theta/2)}$$ Esto se puede solucionar (Corben & Stehle, pág. 51) introduciendo $$y=\sin(\theta/2) \implies \dot{y}=\frac{1}{2}\cos(\theta/2)\dot{\theta}$$ ahora $$\cos(\theta/2)=\sqrt{1-y^2} \Rightarrow \dot{y}=\frac{1}{2}\sqrt{1-y^2}\dot{\theta} \Rightarrow \dot{\theta} = \frac{2\dot{y}}{\sqrt{1-y^2}}$$ llevando a $$\frac{2\dot{y}}{\sqrt{1-y^2}}=\sqrt{\frac{4g}{r}}\sqrt{1-y^2}$$ Como $\sqrt{\frac{4g}{r}} = \frac{v_0}{r}$, finalmente llegamos a $$\dot{y}=\frac{1}{2}\big(\frac{v_0}{r}\big)(1-y^2)$$ lo cual se soluciona facilmente recordando que $$\frac{d}{dx}\tanh(x)=1-\tanh^2(x)$$ de modo que $$y(t)-y(t_0) = \tanh\Big(\frac{v_0}{2r} (t-t_0)\Big)$$ Para $t_0=0 \to \theta=0$y para $t=t^* \to \theta=\pi$. En términos de $\theta$, las soluciones dicen $$\sin(\pi/2)-\sin(0) = \tanh\Big(\frac{v_0}{2r} (t^*-0)\Big) \implies 1 = \tanh\Big(\frac{v_0}{2r} t^*\Big)$$ Como $\tanh(x)$tiende a 1 como $x\rightarrow +\infty$, se deduce que la lenteja tarda una cantidad infinita de tiempo en llegar a la posición superior con la velocidad inicial dada.

Como es una varilla rígida, probablemente tengas razón. Si la varilla rígida se reemplaza con una cuerda, entonces tu maestro tendría razón, ya que la velocidad en la parte superior debe ser distinta de cero para que la cuerda permanezca tensa y no colapse antes de llegar a la parte superior.

En escenarios de la vida real, sin embargo, es casi imposible mantener un equilibrio inestable.

Tal vez en un mundo perfecto sin perturbaciones térmicas o atmosféricas (sí simulación) esto podría suceder. Zeno es cierto con respecto al tiempo infinito, pero para todos los propósitos prácticos, la lenteja parecería llegar allí en un tiempo razonablemente corto.

En el mundo real, los ingenieros de sistemas de control logran esta hazaña todo el tiempo usando retroalimentación para superar las pequeñas perturbaciones mencionadas anteriormente. Una vez que la lenteja llega a las 12 en punto, los controles mueven el punto de pivote hacia adelante y hacia atrás para estabilizarlo.

De hecho, el difuminado aleatorio sin control de retroalimentación se puede utilizar para estabilizar el péndulo invertido. Vea una demostración increíble en Harvard aquí:

http://youtu.be/5oGYCxkgnHQ