¿Cuál es el estado de equilibrio para una segunda derivada igual a cero?

Considere los siguientes potenciales:

Estos tres potenciales tienen un punto de equilibrio en$x = 0$. Estos tres potenciales son tales que la segunda derivada de$U(x)$en este punto de equilibrio es cero. Sin embargo, debe convencerse (quizás graficando estos potenciales) de que en el primer caso el equilibrio es estable, en el segundo caso es inestable y en el tercer caso el equilibrio es, como usted dice, "estable en una dirección". pero inestable en el otro".

La moraleja es: saber solo que la segunda derivada es cero no nos dice nada sobre la estabilidad. Necesitamos mirar las derivadas más altas si queremos saber más.

En primer lugar, tiene una idea imprecisa sobre la estabilidad: también las velocidades pequeñas importan no solo los pequeños desplazamientos del equilibrio. un equilibrio$x_0$es estable si el movimiento está confinado alrededor$x_0$y su velocidad está confinada alrededor de la velocidad de fuga para cada tiempo positivo, para cada condición inicial cercana a$x_0$y cada velocidad inicial cercana a$0$en el momento$t=0$.

En otras palabras, según la teoría general de la estabilidad (por ejemplo, véanse los libros de texto de Arnold o Fasano-Marmi) el equilibrio$x_0$es estable (en el futuro) si

arreglando un barrio$U$de$(x_0,0)$, existe un segundo barrio$V\subset U$de$(x_0,0)$tal que todo par de condiciones iniciales$x(0)=y_0$y$\dot{x}(0) = \dot{y}_0$con$(y_0, \dot{y}_0) \in V$da lugar a un movimiento$x=x(t)$tal que$(x(t), \dot{x}(t)) \in U$por cada $t\in (0, +\infty)$.

Un teorema (como arriba me limito al caso unidimensional) prueba que si todas las fuerzas son conservativas entonces

(a) una configuración$x_0$es un equilibrio si y solo si$\frac{dU}{dx}|_{x_0}=0$,

(b) un equilibrio$x_0$es estable si$U$tiene un mínimo estricto en$x_0$(es decir$U(x)>U(x_0)$para$x\neq x_0$en un barrio de$x_0$).

(c) un equilibrio$x_0$es inestable si$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}>0$.

La condición en (b) se cumple si$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0} <0$, pero esto es sólo una condición suficiente (piense en$U(x)=x^4$con$x_0=0$, es evidentemente estable y satisface (b), pero$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$).

Queda abierto el caso$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$. Hay que estudiarlo caso por caso. Sin embargo, ciertos casos son fáciles. En particular, considere cualquier punto$x_0 > x_5$en tu foto Es claro que la condición en (a) es verdadera, por lo que$x_0$es un equilibrio y también$\frac{d^2U}{dx^2}|_{x_0}=0$.

Sin embargo, tal vez contrariamente a la idea ingenua,$x_0>x_5$es inestable _ De hecho, si comienzas con una condición inicial$x(0) = y_0$arbitrariamente cerca de$x_0$y una velocidad$\dot{x}(0) = \dot{y}_0 > 0$arbitrariamente cerca de$0$, el movimiento resultante es$x(t) = \dot{y}_0 t + y_0$y, esperando un tiempo suficientemente largo$t>0$,$x(t)$salidas de todos los barrios de$x_0$fijo inicialmente.

(El enunciado (b) es hoy en día un subcaso elemental de un famoso teorema debido a Lyapunov, pero Lagrange y Dirichlet ya conocían una demostración. De hecho, la energía total$E(x, \dot{x})$es una función de Lyapunov para el sistema para el punto crítico$(x_0,0)$cuando$U$tiene un mínimo estricto en$x_0$.)

Taylor expande la fuerza$F(x) = -U'(x)$acerca de$x = x_0$:

estipular que$F(x_0) = 0$y luego

en el caso de que$U''(x_0) \gt 0$, entonces para$\Delta x$pequeña, la fuerza es aproximadamente una fuerza restauradora lineal.

Sin embargo, en el caso de que$U''(x_0) = 0$(y al menos una derivada de orden superior es distinta de cero), entonces para$\Delta x$pequeña, la fuerza no es lineal y no necesariamente una fuerza restauradora.

Por ejemplo, si$U'''(x_0) \ne 0$, entonces el signo de la fuerza no cambia como$\Delta x$pasa por cero; la fuerza es opuesta al desplazamiento en una dirección y con el desplazamiento en la otra dirección (lo que alejará a la partícula de$x=x_0$).

Para que la fuerza se restablezca en el caso de que$U''(x_0) = 0$requiere que la derivada distinta de cero de orden más bajo (más alta que la segunda) sea de orden par y positiva