Cálculo del trabajo realizado por una partícula que experimenta una fuerza en coordenadas polares

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Arriba está la fuente de incertidumbre que tengo al comprender el movimiento de esta partícula en particular. Estoy considerando (a) aquí, y aquí está mi pensamiento:

  • El movimiento de la partícula es difícil de entender para mí. Radialmente, parece sacudirse, ya que la fuerza aumenta con el radio. Perpendicular a r ^ , parece tener una fuerza sobre él dependiendo de su posición. En θ = π / 2 , por ejemplo, no tendrá θ ^ fuerza dirigida sobre él, pero, ¿cómo entonces siente una fuerza en la dirección de θ ^ ¿después? ¿Llega a π / 2 y quedarme ahí?

  • Independientemente de cómo se mueva, se puede calcular el trabajo realizado considerando el producto escalar de la fuerza y ​​algún vector de posición arbitrario d r → . Ahora, ya que en polar r → solo necesita expresarse usando r ^ en la ecuacion r → = r   r ^ , mi instinto sería representar d r → como d r → = d r r ^ . Sin embargo, mi otra idea es usar d r → = d r r ^ + d θ θ ^ . Esto también haría que el producto punto fuera más sencillo, ya que puedo resolver el trabajo en θ ^ pero siento que eso implicaría r → = r r ^ + θ θ ^ lo que no tiene sentido para mí, ya que nunca he visto un vector de posición en polar descrito de esa manera.

Para calcular el trabajo realizado al pasar de ( 0 , 0 ) a ( 1 , π / 4 ) , habrá aportes de trabajo en r ^ y θ ^ . Entonces:

W = ∫ 0 1 a   r   d r + ∫ 0 π / 4 a porque ⁡ θ   d θ

Independientemente del camino, pasar de ( 0 , 0 a ( 1 , π / 4 ) debe implicar este aporte de trabajo. Para (a), interpreto "el camino θ = π / 4 " como r extendiéndose desde 0 a ∞ en ángulo π / 4 desde el origen, como r es ilimitado con θ = π / 4 . Debido a esto, θ está fijo en este camino, por lo que sólo nos ocupamos de esta integral. Esto hace que tengamos nuestra respuesta como a / 2 . Sin embargo, si esto es realmente correcto, las preguntas resaltadas en mis viñetas todavía no tienen una buena respuesta de mi parte, por lo que sería útil abordarlas.

Respuestas (1)

Consideremos aquí el caso (a). En este caso, el ángulo permanece en π 4 , ya que en ( 0 , 0 ) , el ángulo no está definido. Ahora,

  • Una fuerza dependiente del radio es natural. Se sacude radialmente, pero está bien, ya que eso sucede continuamente. La fuerza debida a un resorte es de esta naturaleza, por ejemplo.
  • El vector de posición es de hecho r → = r r ^ , pero r ^ no está fijo en coordenadas polares, sino que depende de dónde te encuentres, es decir, r ^ = r ^ ( r , θ ) . De hecho, lo que obtienes es,
    d r → = r ^ d r + θ ^ ( r d θ )
    Esencialmente, puede consultar cualquier libro que trate sobre sistemas de coordenadas curvilíneas, y le darán la expresión para el vector de desplazamiento infinitesimal d r → .
Ah, sí, esta es la ecuación de velocidad sin el d t términos.
Absolutamente. Además, puede resolver esto observando un pequeño desplazamiento y cómo cambia en r y θ contribuir a eso.
Definitivamente puedo ver eso, pero lo que me confunde un poco es cómo r → = r r ^ es suficiente para una ecuación vectorial de posición, pero no para un cambio de posición. como, lo sé r ^ varía con θ pero ¿cómo describe entonces todo lo que necesitamos para la posición, pero ahora necesitamos r ^ Y θ ^ para d r ? Las ecuaciones en sí mismas tienen un sentido intuitivo para mí, pero no puedo responder muy bien a esa pregunta de todos modos.
cuando estas escribiendo r → = r r ^ , básicamente estás expresando el vector de posición con respecto al origen, y r ^ cuida el ángulo, mientras que para d r → , debe especificar los cambios en ambos.
Cálculo del trabajo realizado por una partícula que experimenta una fuerza en coordenadas polares
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