Fuerza ejercida sobre la pared de potencial

Question

Fuerza ejercida sobre la pared de potencial

pequeñito

Una partícula unida en una pared de potencial infinito en $x=0$ aplicará una fuerza sobre la pared. Para una onda plana e imaginándola como un fluido rebotando en la pared de reflexión en $x=0$ , encuentre la fuerza en términos de $\phi'(0)$ , la derivada de la función de onda en $x=0$ .

Sabemos, por un fluido reflectante, $\textrm{force }= \frac{dp}{dt}$ , dónde $p$ es impulso. Clásicamente, $p=mv$ . En nuestro caso, $v$ es $\hbar k/m$ , la velocidad de la onda plana. En lugar de masa, tenemos $|\phi|^2dx$ , la probabilidad de encontrar la partícula masiva en un intervalo $dx$ . Entonces $p= \frac{\hbar k}{m}|\phi|^2 dx$ . Entonces, fuerza $f=\frac{dp}{dt} =\frac{d(|\phi|^2 dx \hbar k/m)}{dt}$

Por la ecuación de continuidad, $\frac{d(|\phi|^2)}{dt}=-\frac{dj}{dx}$ , dónde $j$ es probabilidad actual = $\hbar k/m |\phi|^2$ . Entonces $f=\frac{dp}{dt}=\left(\frac{\hbar k}{m}\right)^2 \frac{d(|\phi|^2)}{dx} = \frac{\hbar k}{m} 2 \phi \phi' dx$ .

Pero para el potencial infinito, $\phi(0)=0$ , por lo que da 0. Así que tengo un no deseado $\phi$ y un molesto $dx$ en mi problema Estoy perplejo por días, agradecería toda ayuda. Estoy bastante seguro de que debería recibir una respuesta de fuerza ~ $\phi'(0)^2$ .

Respuestas (1)

Fuerza ejercida sobre la pared de potencial

Emilio Pisanty · Answer 1

Su respuesta se descarrila en el punto en que intenta aplicar las dos ecuaciones clásicas

pag = metro v y F = \frac{d pag}{d t}

$p=mv\textrm{ and }F=\frac{dp}{dt}$ a este (muy) problema cuántico. Para ver por qué esto es fundamentalmente defectuoso, observe que la situación de onda plana que considera (aunque no es exactamente una onda plana: son dos ondas planas que se propagan en sentido contrario) es un estado estacionario, por lo que todas las derivadas temporales son cero .

Luego comete un par de deslices que lo desvían gravemente. equiparar $p=\frac{\hbar k}{m}|\phi|^2 dx$ no puede ser correcto ya que es una cantidad finita igual a un infinitesimal. Aunque en esta situación particular la ecuación $j=v|\phi|^2$ tipo de retenciones (en lugar de la corriente real, $j=\frac{\hbar}{2im}\left(\phi^* \frac{d\phi}{dx}-\phi \frac{d\phi^*}{dx}\right)$ ), aquí debe sumar las corrientes de las partículas que van hacia la izquierda y hacia la derecha para obtener $j=0$ .

El enfoque correcto de este problema necesita un replanteamiento fundamental de lo que entendemos por fuerza en este contexto y, de hecho, en toda la mecánica cuántica, donde la energía es un concepto mucho más fundamental que la fuerza (que se convierte simplemente en el gradiente del potencial) . Supongamos que la pared se deslizó hacia la izquierda un poco $\Delta x$ , Durante mucho tiempo. ¿Cuál sería el trabajo realizado por la partícula en la pared? Este trabajo tendría que provenir entonces de la energía (puramente cinética) de la partícula. ¿Cómo cambiaría eso con la ligera ampliación de la caja?

Para responder a la pregunta que planteó al final. Se puede usar f=dE/dl, funciona para estados propios de energía, pero pronto nos encontramos con problemas porque la energía no está bien definida para los estados de superposición.
Sí, eso es muy cierto. ¡Eso solo te dice que debes tener cuidado con lo que quieres decir con fuerza! Puedes definirlo como $F=\frac{d}{dL}\langle E\rangle$ y eso hace una declaración definitiva acerca de que quienquiera que esté empujando la pared es una entidad clásica. También puede definir un operador $\hat{F}=\frac{d}{dL}\hat{E}$ (camino más fácil: en cada estado base y luego por linealidad) y luego puede hacer preguntas de mecánica cuántica en $\hat{F}$ en la partícula, o incluso en un segundo sistema cuántico más lento (¿enredado?) cuya coordenada es $L$ .
Tal vez sea relevante preguntar ¿cómo se mide la fuerza en la pared?
Sí. Y estas consideraciones deberían esperar hasta que uno tenga una respuesta definitiva (entre las varias razonables).

Fuerza ejercida sobre la pared de potencial

pequeñito

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Emilio Pisanty

Prathyush

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