¿Por qué epsilon no puede depender de delta en su lugar?

Creo que es más una cuestión de precisar el lenguaje y eliminar cualquier confusión. Tienes razón en que un significado informal de$\lim_{x \to a}f(x) = L$es que si los valores de$x$están cerca$a$entonces valores de$f(x)$están cerca$L$.

¿Cómo hacemos que esta afirmación sea precisa? Lo hacemos cuantificando la palabra "cerca" . Entonces la cercanía de$x$con$a$se gestiona por numero$\delta$y cercanía de$f(x)$con$L$se mide por$\epsilon$. Podríamos haber elegido cualquier símbolo, digamos$A$y$B$en lugar de$\epsilon,\delta$pero elegir símbolos griegos te da un aire de uber-ness/geekiness/nerdness. Por lo tanto, los matemáticos quieren asegurarse de que este concepto no se tome a la ligera.

Ahora, como dijimos antes, queremos asegurarnos de que cuando$x$esta cerca de$a$entonces$f(x)$debería estar cerca de$L$. Esto es como si los padres quisieran que su hijo estudiara mucho para sacar buenas notas. Cuanto más estudie el niño, mejores serán las notas. Ahora debería ser obvio para cualquiera que el objetivo aquí es "obtener buenas notas" y "no solo estudiar mucho".

Entonces, en caso de límites, el objetivo real es garantizar que$f(x)$se acerca a$L$. La parte de conseguir$x$cerca de$a$es sólo el medio para un fin. Por lo tanto, tenemos que dar un límite$\epsilon$para$|f(x) - L|$y luego determinar$\delta$tal que$|x - a| < \delta$sería suficiente para asegurar el objetivo. Cuando el objetivo falla (es decir, para algunos$\epsilon$no somos capaces de obtener un correspondiente$\delta$) Nosotros decimos eso$L$no es el limite de$f(x)$como$x \to a$.

También debo señalar la falla con su argumento. Supongamos que me desafías con un$\delta$y pídeme que invente un$\epsilon$tal que$|f(x) - L| < \epsilon$cuando sea$0 < |x - a| < \delta$. Entonces ha hecho mi tarea mucho más fácil y siempre ganaré el desafío eligiendo un valor muy alto de$\epsilon$. Debido a que me ha dado una influencia completa sobre el gol y puedo optar por fallar el gol por un amplio margen (gran valor de$\epsilon$) mientras que sigues esforzándote más (elegir$\delta$para el desafío). Espero que puedas entender esta lógica de por qué ganaría este desafío todo el tiempo si jugamos de acuerdo con tus reglas.

Considere el contraejemplo

$$f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$$ y el limite $$L = \lim_{x \to 0} f(x).$$ Así que deja $a = 0$. Bajo su caracterización, dada cualquier $\delta > 0$, podemos encontrar trivialmente $\epsilon > 0$tal que $|f(x) - L| < \epsilon$cuando sea $|x| < \delta$. Por ejemplo, establecer $\epsilon = 2$; entonces cualquier elección de $L \in (-1,1)$satisfará esta situación "invertida", a pesar de que no existe un límite real. Esta es la razón por la cual la definición correcta requiere que elijamos $\epsilon$primero, porque esa es la cantidad por la cual la diferencia del valor de la función y su valor límite $L$debe poder hacerse arbitrariamente pequeño. Decir que eres libre de elegir un barrio tan pequeño como $x$-valores como quieras (que es lo que estamos haciendo si elegimos $\delta$) no garantiza que los valores de la función en esa vecindad estarán cada vez más acotados alrededor de un punto límite.

Creo que la formulación secuencial está más cerca del concepto informal de continuidad que la$\epsilon$-$\delta$formulación. (Esta es realmente una reformulación lingüística y no matemática).

El concepto informal de continuidad es algo así como "Si tomamos un montón de puntos$P$cada vez más cerca de$x$, entonces los valores$f(P)$acercarse más y más a$f(x)$."

Una vez que tenemos una noción de secuencia convergente, podemos formalizar esto como "Si$x_n \to x$, entonces$f(x_n) \to f(x)$."

Así que tenemos que definir lo que significa decir$y_n \to y$dónde$y_n$es una secuencia y$y$es un número real (usamos esta definición de$\to$dos veces para hacer nuestra definición de continuidad: una vez con$y_n = x_n, y = x$y una vez con$y_n = f(x_n), y_n = f(x)$.)

La idea informal es "como$n$se hace grande, el$y_n$acercarse más y más a$y$." Definimos "más y más cerca" precisamente exigiendo que para cualquier límite deseado$\epsilon$, uno tiene$|y_n - y| < \epsilon$para$y_n$suficientemente avanzado en la secuencia: es decir, uno define

$$y_n \to y:= \forall \epsilon > 0, \exists N \text{ s.t. } \forall n > N, |y_n - y| < \epsilon.$$

Ahora puedes comprobar que la definición de continuidad anterior coincide con esta.