Entendiendo la notación de norma uniforme

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Entendiendo la notación de norma uniforme

notación
Matemáticas
análisis real

bobby b

Actualmente estoy luchando por hacer Real Analysis y no sé cómo "leer" la notación de una norma uniforme.

$\left\lVert f\right\rVert_{\infty}:=\sup_{x \in X}|f(x)|$

¿Podría alguien desglosar el significado de cada símbolo y la información que está tratando de decirme? Describiré dónde estoy específicamente confundido,

Para $\left\lVert f\right\rVert_{\infty}$ , las barras verticales dobles representan la norma o "longitud" del vector dentro de un espacio euclidiano. Entonces tendríamos la longitud de la función $f$ . Pero, ¿cuál es el significado y propósito del subíndice infinito? ¿Qué información se supone que me dice esto?

Para $\sup_{x \in X}|f(x)|$ , $\sup$ es el límite superior más bajo de algún valor. Entonces tenemos el límite superior más bajo para el valor absoluto de la función $f(x)$ . Pero, ¿cuál es el significado del subíndice ${x \in X}$ ?

La pregunta final es cómo ambas declaraciones son iguales, pero primero necesito saber el propósito de la notación para responder eso.

DMcMor

Darse cuenta de

:=

$:=$ significa igual por definición , por lo que no hay igualdad para mostrar, estamos definiendo

‖ f ‖_{\infty}

$\|f\|_{\infty}$ significar

sup_{x \in X} | f (x) |

$\sup_{x \in X}|f(x)|$ .

Respuestas (1)

Entendiendo la notación de norma uniforme

Darse cuenta de $:=$ significa igual por definición , por lo que no hay igualdad para mostrar, estamos definiendo $\|f\|_{\infty}$ significar $\sup_{x \in X}|f(x)|$ .

gribouillis · Answer 1

$\sup_{x\in X}|f(x)|$ es el límite superior más bajo del conjunto

{| F (X) |, X \in X} \subset R

$\begin{equation} \{|f(x)|, x\in X\}\subset {\mathbb R} \end{equation}$ El

\infty

$\infty$ en la notación normal proviene del hecho de que para una colección de números

f_{1} \dots f_{n}

$f_1\cdots f_n$ uno tiene

\underset{i}{máximo} | F_{i} | = \underset{pag \to \infty}{límite} {(\sum_{i} | F_{i} |^{pag})}^{1 / pag}

$\begin{equation} \max_i |f_i| = \lim_{p\to \infty} \left(\sum_i |f_i|^p\right)^{1/p} \end{equation}$ Su propósito es diferenciar esta norma particular de otras normas de función que podrían definirse en

X

$X$ . Es un elemento cultural.

Ha introducido una notación más complicada para explicar otra notación. Eso no me ayuda a entender la información que cada símbolo en la definición de norma uniforme está tratando de decirme. no se que $\max_i |f_i| = \lim_{p\to \infty} \left(\sum_i |f_i|^p\right)^{1/p}$ se supone que representa.
Por ejemplo, para 2 números, $\max(|f_1|, |f_2|) = \lim (|f_1|^p + |f_2|^p)^{1/p}$ cuando $p$ tiende al infinito. De ahí viene la notación porque esta última cantidad se denota $\|\cdot\|_p$ . Por ejemplo $(2^{1000} + 3^{1000})^{0.001}$ está muy cerca de 3, el máximo de 2 y 3.
De nuevo, simplemente estás declarando notaciones sin explicar lo que realmente significan. ¿Cómo explicaría estos conceptos verbalmente mientras observa el propósito de cada símbolo? También recuerde que el propósito de mi pregunta es que no sé cómo interrumpir la definición de una norma uniforme. No sé qué significado literal tiene porque la notación no tiene sentido para mí.
El significado es el del límite superior más bajo de todos los valores de $|f(x)|$ cuando $x$ varía en $X$ . la notación $\|\cdot\|_{\infty}$ es convencional. No hay nada más que entender.

Entendiendo la notación de norma uniforme

bobby b

DMcMor

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gribouillis

bobby b

gribouillis

bobby b

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