Aclaración sobre la notación CC\mathscr C: ¿se requiere acotación?

En el capítulo 7 de Baby Rudin, el autor introdujo el C ( X ) para denotar la clase de funciones continuas en un espacio métrico X , Diciendo que:

Si X es un espacio métrico, C ( X ) denotará el conjunto de todas las funciones acotadas , continuas y de valor complejo con dominio X .

Me pregunto si la "limitación" es necesaria en general (aunque es necesaria para el uso de Rudin aquí, ver editar). Creo que siempre he estado viendo y probablemente incluso usando notaciones como 1 / X ∈ C ( 0 , 1 ) o X 2 ∈ C ( R ) etc.

Entonces, ¿hay un uso estándar de la C ¿notación? Si no es así, ¿cuál es la definición más utilizada de la C ¿notación?

Atentamente.

EDITAR En el contexto específico donde Rudin introdujo la notación, se requiere la acotación, porque usó C ( X ) para denotar un espacio funcional lineal equipado con la norma suprema. Pero mi pregunta es si también es necesario en el uso general .

Respuestas (1)

Si X es cualquier espacio métrico, entonces el conjunto C ( X , R ) de continuo R -funciones valoradas en X tiene perfecto sentido, pero a menos que X es compacto, en cuyo caso la acotación no es automática, la norma suprema generalmente no estará bien definida en este espacio, porque las funciones continuas no necesitan estar acotadas en general. Si uno se restringe al subconjunto C b ( X , R ) de funciones continuas acotadas, entonces se tiene la norma suprema. En general, hay una serie de topologías que uno podría poner en C ( X , R ) , pero el más utilizado, al menos si X es localmente compacto, es probablemente la topología compacta abierta.

Pero, nuevamente, para responder a su pregunta, sí, el espacio de funciones continuas en un espacio métrico es un objeto perfectamente razonable para considerar. Pero no se puede, en general ponerle la norma suprema.

Gracias por tu tiempo. ¿Puedo hacer una pregunta más? Como no estoy familiarizado con la topología, realmente no sé qué significa "compacto localmente" (¿compacto en un vecindario cerrado pequeño para cada punto, supongo?), Pero mis ejemplos, como 1 / X ∈ C ( 0 , 1 ) y X 2 ∈ C ( R ) , pertenecen a los casos "localmente compactos", es decir, los "más utilizados" que mencionaste?
Estimado @Vim, Un espacio métrico X es localmente compacto si para cada punto X ∈ X , hay un conjunto compacto C en X que contiene un vecindario abierto de X . los espacios ( 0 , 1 ) y R ambos son localmente compactos, pero no compactos. No tiene sentido preguntar si una función es localmente compacta; solo un espacio. De todos modos, lógicamente está perfectamente bien hablar sobre el espacio. C ( X , R ) para cualquier espacio métrico, localmente compacto o no. Pero si desea ponerle una topología, es posible que desee imponerle más condiciones. X .
¡Muchas gracias por tu detallada explicación, es muy amable de tu parte! Ahora creo que tengo la idea.
Aclaración sobre la notación CC\mathscr C: ¿se requiere acotación?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v