¿Quién recibe crédito por los números reales?

Si Simon Stevin ya fue pionero en la representación decimal interminable de cada número (racional, irónico, etc.) a fines del siglo XVI, ¿por qué Cantor y Dedekind (quienes ciertamente dieron una descripción más detallada) obtienen crédito de manera rutinaria por los números reales?

Stevin hizo un trabajo detallado (en lugar de vagas ideas generales) con decimales interminables, incluida una prueba del teorema del valor intermedio para polinomios. De hecho, Newton se inspiró en los decimales infinitos para presentar su teoría general de las series de potencias.

Peter Diehr planteó un punto interesante en una respuesta. La llamada propiedad de Arquímedes (que es una de las características definitorias del cuerpo de los números reales; aunque por supuesto no basta para caracterizarlos ya que los racionales también la satisfacen) fue considerada por autores como Euclides (Elementos V.4 ) considerablemente más temprano. Sin embargo, en cuanto a dar una construcción real (en lugar de una definición axiomática), Stevin parece haber sido el primero.

Nota 1. Para aclarar, Stevin desarrolló una notación específica para decimales (más complicada que la que usamos hoy en día) e hizo un trabajo técnico real con ellos en lugar de simplemente visualizar su posibilidad, a diferencia de algunos de sus predecesores.

Nota 2. Una fuente útil para esto es Malet, Antoni. Nociones renacentistas de número y magnitud . Historia Matemática. 33 (2006), núm. 1, 63–81.

Nota 3. Como señala Malet, "Stevin no justifica su definición" que identifica el número y la "cantidad de cualquier cosa" porque para él la identificación es obvia y la implementación del número son sus decimales interminables. De hecho, este fue un movimiento apropiado ya que sabemos hoy que el postulado de Cantor-Dedekind que identifica la recta numérica y la recta en el espacio físico es insostenible según lo que nos enseña la física moderna; observaciones similares se aplican a la magnitud/cantidad. Stevin, por supuesto, no estaba al tanto de los números "trascendentales", pero no se requiere tal conocimiento para definir los números reales por medio de decimales interminables; es decir, esto podría haberse hecho incluso si Liouville no hubiera probado la existencia de números trascendentales.

Nota 4. Debo aclarar que Stevin trató con decimales interminables en su libro l"Arithmetique en lugar de De Thiende, más orientado a la práctica, destinado a enseñar a los estudiantes a trabajar con decimales (por supuesto, finitos).

Nota 5. En cuanto al uso del término real para describir los números que preocupaban a Stevin, debe aclararse que el primero en describir los números comunes como reales pudo haber sido Descartes y, en todo caso, este uso es posterior a Stevin. Por otro lado, si hablamos de representar números comunes (incluyendo tanto racionales como no tanto), Stevin no solo especuló sobre la posibilidad de un esquema de representación usando decimales, sino que (a diferencia de algunos de sus predecesores) desarrolló una notación específica (aunque diferente). de lo que usamos hoy) y además funcionó con esta notación.

Nota 6. Cantor pensó que Cauchy Completeness (CC) era suficiente para caracterizar axiomáticamente los números reales. Hoy sabemos que este no es el caso, ya que también se necesita la propiedad de Arquímedes. Recientemente descubrí que Dedekind estaba convencido de que tenía una prueba de la existencia de un conjunto infinito; ver aquí _ ¿Estos conceptos erróneos de Cantor y Dedekind indican una deficiencia de las construcciones de los números reales que propusieron? Difícilmente así. El enfoque de Stevin para representar todos los números comunes mediante decimales interminables tampoco podía considerarse erróneo porque Stevin no estaba al tanto de ciertos desarrollos futuros.

Fundamentalmente, para las primeras teorías "completas" (es decir: conceptualmente) (axiomáticas y/o "constructivas") del sistema de números reales, evitando la intuición geométrica, según la cual un número real es básicamente la "representación numérica" ​​de un punto en la línea continua.
@Mauro, no estoy seguro de cuál es el sustantivo de la oración anterior.
@MikhailKatz el sustantivo está implícito: "Fundamentalmente, [obtienen crédito] por el primero..."
@Mauro, Stevin no necesitaba intuiciones geométricas para trabajar con decimales infinitos (aunque seguramente tenía tales intuiciones como todos los matemáticos). Hay algunos artículos interesantes en la literatura que elaboran sobre el puente entre lo discreto y lo continuo construido por Stevin.
Bueno, si creemos que las fracciones continuas infinitas de Fowler ya fueron ponderadas por los pitagóricos projecteuclid.org/euclid.bams/1183544897
@Conifold, tendré que echarle un vistazo a eso, pero a juzgar por su redacción, soy escéptico :-) Stevin no solo reflexionó sobre los decimales interminables, sino que en realidad trabajó un poco con ellos. Tiene un predecesor que imaginó todo el esquema sin escribir ninguna fórmula; este era un erudito judío que mencioné en uno de mis artículos. Su nombre se me escapa ahora mismo. De todos modos, no le atribuiría la construcción de los reales por la obvia razón de que no desarrolló esto técnicamente como lo hizo Stevin.
Tengo mis reservas acerca de proyectar el concepto moderno de números reales a la época de Stevin. A fines del siglo XIX había un cuerpo de trabajo en análisis, geometría y "aritmética" que comenzó a aproximarse al contexto moderno, Cantor y Dedekind unieron los hilos con una "construcción rigurosa" (la construcción anterior de Weierstrass no fue "suficientemente rigurosa "). No es como si los números reales estuvieran colgados de un árbol en el cielo platónico esperando ser arrancados, y Stevin llegó a ellos primero. Los hilos, incluido el "rigor", no estaban en su lugar en ese momento, por lo que se parece más a Elements II como "álgebra geométrica".
¿Cómo formuló Stevin su versión del teorema del valor intermedio?
Recuerde que esto fue antes de Vieta, por lo que Stevin no tenía notación más allá de la herramienta heredada de los griegos, a saber, las proporciones. a : b :: C : d . Y, de hecho, procede a escribir un cúbico como una proporción, lo que ciertamente es desconcertante si no sabes de dónde viene esto. La idea de una "ecuación" que damos por sentada estaba en proceso de surgir. En cualquier caso, presentó un algoritmo de divide y vencerás perfectamente razonable para encontrar la raíz, esencialmente el que reprodujo Cauchy 250 años después. @FranzLemmermeyer
Sería genial si todas estas "notas" se integraran más fácilmente en el cuerpo de la publicación.

Respuestas (5)

Muchas personas obtienen crédito, porque esta fue una larga historia que comenzó en la antigua Grecia. Euclides tiene una teoría de las proporciones (basada en investigaciones anteriores) que es equivalente a la teoría moderna de los números reales. Las expansiones decimales infinitas se introdujeron gradualmente desde el siglo XVII (Napier, Stevin), y las teorías modernas se deben a Cantor y Dedekind. Así que el desarrollo tomó 2000 años, y es imposible dar crédito a una sola persona.

Alexandre, todas las matemáticas son un todo orgánico, por lo que podría decirse que todos los matemáticos deberían recibir crédito por todas las matemáticas. Más allá de esto, es difícil atribuir decimales interminables a Euclides. Stevin hizo un trabajo detallado con decimales interminables, incluida una prueba del teorema del valor intermedio para polinomios. La equivalencia matemática no es equivalente a la equivalencia histórica. En lo que respecta a Napier, no conocía su trabajo sobre decimales interminables. ¿A qué Napier te refieres? Según recuerdo, eran dos. ¿Tienes algún detalle sobre su trabajo sobre decimales interminables?
PD Lo siento, estaba confundido; Estaba pensando en los dos Mercator. ¿Podría dar más detalles sobre el trabajo de Napier sobre los decimales interminables? Esto es muy interesante.
"Difícil atribuir decimales infinitos a Euclides". La pregunta no era sobre "decimales infinitos" sino sobre números reales. Hay varias representaciones de números reales, y "decimales infinitos" es solo una de ellas. En cuanto a Napier, me refiero a John Napier, inventor de los logaritmos, y su libro donde describe este invento.
Siempre que estemos dando crédito, estoy horrorizado, horrorizado, les digo, que no se mencione a Eudoxo. Euclid acaba de registrar su teoría, ¿por qué se lleva todo el crédito? :) Sin embargo, la teoría de las proporciones solo podía aplicarse a proporciones ya construidas, y las construcciones geométricas no se acercaban a los reales modernos, ni siquiera a los números algebraicos.
@Alexandre, para Euclid solo 2,3,4,... eran números. Incluso 1 no lo era; esto tuvo que ser argumentado por Stevin para convencer a sus contemporáneos.
@Conifold: En mi respuesta no estaba "dando crédito". Solo mencioné fuentes existentes (supervivientes). Y la fuente de la teoría de las proporciones es Euclides.
El título de la pregunta trata sobre el crédito, y la oración antes de Euclid comienza con "muchas personas obtienen crédito", no hay nada sobre las fuentes existentes en la publicación (ni es directamente relevante). Los otros nombres están al menos vinculados a algunos avances sustantivos. Euclid debería ser reemplazado por Eudoxus y "equivalente a la teoría moderna de los números reales" eliminado.
@Conifold: La fuente que menciono es Euclid. Y digo que se basa en investigaciones anteriores. Leí a Euclides y, en mi opinión, su teoría es equivalente a la moderna. Si tiene una referencia para los textos de Eudoxus, por favor déla. Y si no está de acuerdo con mi respuesta, simplemente escriba la suya.

La propiedad de Arquímedes, como se la llama, fue utilizada como axioma por Arquímedes, y le dio crédito a Eudoxo de Cnido, que es anterior a Euclides ; también vea esto.

En la Sección 7: Stevin, Malet dice:

De hecho Stevin no justifica su primera definición (“Número es aquello por lo que uno puede decir la cantidad de cualquier cosa”).

Entonces parece que, como Arquímedes, Simon Stevin asume que cada punto de una línea corresponde a una distancia desde su origen; es decir, las magnitudes corresponden a puntos de la línea. Las distinciones matemáticas agradables que aparecen en el siglo XIX que resuelven los detalles de los números reales no son importantes para Stevin; lo importante es que la notación decimal proporciona un método conveniente para registrar estas magnitudes.

Su trabajo estaba destinado a enseñar a los estudiantes cómo trabajar con números decimales. Dado que incluso el concepto de números trascendentales no aparece hasta el siglo XIX, no veo cómo se podría citar ningún trabajo anterior que se refiera a los números reales, excepto como un axioma.

Para referencia: Axioma de Arquímedes y axioma de Arquímedes

Peter, el término "propiedad de Arquímedes" fue introducido por Otto Stolz en 1883. Ciertamente, todos estos admirables autores son anteriores a Stevin, pero Stevin dio lo que puede interpretarse como una construcción real de los números reales, es decir, en términos de decimales interminables. Si me muestran una construcción en Arquímedes, Eudoxo o Euclides, estaría muy interesado, pero aparte de eso, Stevin parece ser el primer autor que propuso una construcción de lo que desde entonces se conoce como ¡oh! numeros reales :-)
El OP no mencionó la construcción como objetivo. Dedekind ciertamente dio una construcción válida, con pruebas. El uso de números decimales, aunque interminable, no es una prueba constructiva. Y no dije que Arquímedes usara ese término; Dije que usó la propiedad como un axioma, una declaración que no requiere prueba. Tal vez pueda editar la pregunta para aclarar su(s) objetivo(s).
¡Peter, ciertamente estoy de acuerdo en que Dedekind dio una construcción válida! Sin embargo, tengo que estar en desacuerdo con la afirmación de que el uso de decimales interminables no es una prueba constructiva. Ciertamente, los detalles deben completarse, como las colas de 9 y la coherencia con las operaciones aritméticas. Sin embargo, es bien conocido el hecho de que los decimales interminables proporcionan una construcción válida de los reales. Déjame detenerme aquí para ver si te entendí correctamente antes de dar más detalles. ¿Estamos de acuerdo hasta ahora?
Estoy de acuerdo con las conclusiones; y tengo una gran opinión de Simon Stevin, pero ¿afirmó que la construcción decimal cubre todos los puntos de la línea geométrica?
Hay un erudito de Stevin que afirma que él estableció el vínculo entre lo continuo y lo discreto, al contrario de lo que la gente escribe acerca de que se trata de una idea muy posterior. En cualquier caso, Stevin no se basó en intuiciones geométricas; por el contrario, tenía un procedimiento completamente analítico, a saber, el de los decimales sin fin, para describir todos los números.
Referencia, por favor?
El erudito que tengo en mente es A. Malet. Trate de buscar sus papeles. Alternativamente, esto puede mencionarse en algunos de mis artículos sobre Stevin. Si no encuentras nada, vuelve a consultarme.
Esperaré a saber de usted; estas referencias deben estar en su OP.
Agregué esto al cuerpo de la respuesta. Tenga en cuenta que la propiedad de Arquímedes estrictamente hablando no tiene nada que ver con esta pregunta; q es también arquimediano y suponemos que los racionales se entendieron considerablemente antes.
Peter, solo envíame un correo electrónico (ver mi página).
Peter, estoy desconcertado por tus comentarios sobre los números trascendentales; vea mi "nota" agregada a la pregunta .
Mi punto es que Simon Stevin no sabía que su construcción corresponde a los números reales; no podía saberlo, porque la gran mayoría de los números reales aún no se sabía que existían, y no tenía forma de saberlo. ¡El mapa de Cantor es una creación muy reciente! Así la cita de Stevin.
Peter, escuché de ti que estás diciendo pero todavía no lo entiendo. ¿Por qué es relevante que posteriormente se consideraran nuevos tipos de números reales? Si, por ejemplo, mañana un destacado analista introduce nuevos números superdupertrascendentales y resultan ser la clave para resolver algún problema importante, ¿significaría eso que ni Cantor ni Dedekind sabían correctamente de lo que estaban hablando? No puedo analizar ningún significado preciso en la afirmación de que "Stevin no sabía que su construcción se corresponde con los números reales". Esto sería cierto en el sentido obvio de que no usó el término "real".
Arquímedes asumió que cada punto de una línea corresponde a una magnitud, entonces, ¿por qué no consideras que él descubrió los números reales? ¿También desarrolló un método para expresar números?
El significado de un concepto depende del contexto disponible. Los decimales son una de las n formas equivalentes en que definimos los números reales hoy en día, conocer varios subtipos de ellos también es parte de su concepción. Stevin no sabía ni las n formas, ni las equivalencias, y muy poco sobre qué tipo de números cubren los decimales. La definición que podemos probar hoy es equivalente a una definición de X no es una definición de la X de hoy. Así como Cauchy no pensó en las funciones continuas (modernas), Stevin no pensó en los números reales (modernos). Las modernizaciones sólo pueden proyectarse hacia atrás hasta cierto punto.
@Conifold, si bien está claro que Stevin no pensó en los números reales modernos, proporcionó un sistema para representarlos, introdujo una notación para expresar esto e insistió en que no hay diferencia entre números racionales y no racionales en este respecto. Estoy de acuerdo en que las modernizaciones solo pueden proyectarse hacia atrás hasta cierto punto, pero Stevin proporcionó un sistema para representar números y, además, funcionó con éxito con él.
@PeterDiehr, no estoy seguro de que Arquímedes asuma que cada punto de una línea corresponde a una magnitud. ¿Tiene usted una fuente para eso? Malet parece pensar que la idea de Stevin de cerrar la brecha entre la cantidad discreta y continua fue una novedad de Stevin que tuvo que luchar duro para ser aceptado.
@Mikhail Estoy de acuerdo en que Stevin merece mucho más reconocimiento por su influencia en la concepción moderna del número, en particular, usando infinitos decimales para romper las paredes euclidianas entre números, magnitudes y proporciones. Mi problema es con la redacción: no proporcionó un sistema para representar números reales por la misma razón que Euclides no resolvió ecuaciones cuadráticas, y Eudoxo no descubrió una razón trascendental, esas nociones no estaban disponibles en su tiempo. Se puede decir, con caridad, que Cantor y Dedekind construyeron números reales, pero Stevin parece un puente demasiado lejano.
@Conifold, habría asumido que ya estaríamos más allá de los comentarios preliminares :-) ¿Puede ser más específico sobre esto? ¿Hasta cuándo sería legítimo considerar la hipótesis de que un autor proporcionó un sistema para representar números reales? ¿siglo 17? ¿siglo 18? ¿Primera mitad del siglo XIX? Supongo que en la segunda mitad del siglo XIX, ¿esto ya es un juego limpio?
@Mikhail Como suele suceder, no hay líneas claras, ni realmente es necesario que describan cómo se desarrolló la historia, las etiquetas modernas son tangenciales a eso. Buscaría prototipos de varios enfoques modernos que se articulen y compartan el sentido de que apuntan a la misma noción de diferentes maneras. Cuando esto sucede para los números reales, es un juicio borroso, pero el final del 19 está claramente dentro y principios del 17 están claramente fuera.
@Conifold, parece que se opone al uso del término "real" para describir los números que preocupaban a Stevin, y en esa medida estoy de acuerdo. Creo que el primero en describir los números comunes como "reales" pudo haber sido Descartes y, en cualquier caso, este uso es posterior a Stevin. Por otro lado, si hablamos de representar números "comunes" (incluyendo tanto racionales como no tanto), no veo cuál es tu argumento en contra de darle crédito a Stevin, quien no solo especuló sobre la posibilidad de un esquema de representación usando decimales,...
... pero desarrolló una notación específica (aunque diferente de la que usamos hoy) y además trabajó con esta notación.
No me opongo a darle crédito a Stevin, pero ¿crédito por qué? No es solo que el término "número real" no existía, no existía tal concepto, "Stevin construyó números reales" no es lo que sucedió simplemente expresado en palabras modernas, es "álgebra geométrica". "Stevin representó números reales por decimales" es igual de malo, si representó algo más por decimales, ¿qué fue exactamente? Racionales y surdos cuadráticos? Y si fueran decimales, entonces no podrían "representarse" a sí mismos. Esto solo refuerza los estereotipos platónicos de que los matemáticos apuntan a entidades que flotan allí como planetas.
@Conifold, comparto su opinión de que tales estereotipos pueden ser una hipótesis innecesaria, pero como ya mencioné, Stevin desarrolló un sistema adecuado para representar números ordinarios, incluidos todos los que se usaban en ese momento, fueran racionales o no. Además, su esquema de representación de números funciona perfectamente para todos ellos, como es bien sabido. Es solo si uno ve la historia del análisis real como un progreso inevitable hacia las alturas bostezantes de la epsilontica weierstrassiana y los números reales de Cantor-dedekind que uno debe sentirse incómodo al atribuir el crédito antes.

Recientemente comencé a leer sobre el tema de la historia de las matemáticas, y mis lecturas actualmente se limitan a un solo texto; Una historia de las matemáticas de Boyer . Sin embargo, según Boyer, y respaldado por la entrada de wikipedia para Simon Stevin , creo que su afirmación de que Stevin trató con "todos" los números reales, "(racionales, irónicos, etc.)" es una extralimitación.

Citando a Boyer:

Viète, ... , en 1579 había instado a la sustitución de fracciones sexagesimales por fracciones decimales. En 1585, el destacado matemático de los Países Bajos, Simon Stevin de Brujas, hizo un llamamiento aún más fuerte a favor del uso de fracciones de escala de diez, así como de números enteros.

Esto parece no llegar a afirmar que el trabajo de Stevin abarcaba conceptualmente todos los números reales. El artículo vinculado de Malet afirma claramente que Stevin también consideró (algunos) números irracionales:

Que “cualquier raíz sea número” [Stevin, 1585, 8] es también una consecuencia de identificar números y medidas

Por lo tanto, según Malet, Stevin considera números algebraicos, pero nuevamente esto no llega a afirmar que Stevin estaba en posesión de la noción correcta de "todos los números reales". En otras palabras, aunque ahora sabemos que todos los números reales se pueden representar de esta manera, no está claro que Stevin fuera consciente de la naturaleza verdadera y correcta de los números reales y sus diferentes tipos. Tal vez esto brinde alguna explicación de por qué Stevin no recibe todo el crédito por los números reales.

Como punto final, también puede valer la pena mencionar que Boyer señala:

Está claro que Stevin no fue en ningún sentido el inventor de las fracciones decimales, ni fue el primer usuario sistemático de ellas. En la China antigua, en la Arabia medieval y en la Europa del Renacimiento se encuentra un uso más que incidental de las fracciones decimales; en el momento de la franca defensa de las fracciones decimales de Viète en 1579, los matemáticos en las fronteras de la investigación las aceptaban en general. Sin embargo, entre la gente común, e incluso entre los practicantes de las matemáticas, las fracciones decimales se hicieron ampliamente conocidas solo cuando Stevin se comprometió a explicar el sistema con todos los detalles elementales.

Boyer no distingue suficientemente entre el uso de fracciones decimales "entre la gente común", como él las llama, por un lado, y el énfasis en los decimales interminables en Stevin, por el otro. Es posible que Stevin no haya sido el inventor de las fracciones decimales. Además, no se ocupó de decimales interminables en su obra más famosa, De Thiende . Sin embargo, en su obra más especializada, l'Arithmetique , enfatiza los decimales interminables y la idea de que todos los números deberían poder representarse de esa manera.
Para resumir, nada de lo que digan Boyer o Malet contradice la afirmación de que Stevin fue el primero en proporcionar una representación técnica detallada de los números ordinarios y, a diferencia de sus predecesores, sí trabajó con dicha representación, que como sabemos hoy en día funciona para todos los números a los que nos referimos cariñosamente. como siendo oh!-tan-real.
@MikhailKatz Sí, acepto su punto con respecto a "todos los números deberían poder representarse de esa manera". Pero, ¿tiene Stevin una verdadera comprensión de lo que implica "todos" en el caso de los reales? Es una posible justificación, aunque no muy bien argumentada por mí.
Nick, Cantor tenía conceptos erróneos sobre las axiomatizaciones de los números reales. Por lo tanto, pensó que requerir la completitud de Cauchy era suficiente para caracterizar axiomáticamente el sistema de números reales. Resulta que este no es el caso porque también se requiere la propiedad de Arquímedes. ¿Significa esto de alguna manera que su construcción de los números reales fue deficiente?
@MikhailKatz Ese es un muy buen argumento, y creo que entiendo el punto que está planteando. Desafortunadamente, mi conocimiento matemático carece de la profundidad necesaria para encontrar una forma significativa de contrarrestar su argumento, suponiendo que exista tal argumento en contra. De hecho, estoy bastante seguro de que tal contador no existe en el caso de Cantor.
@MikhailKatz Esta es la primera vez que recibo una recompensa, a menos que cuentes la vez que mi madre me dio dos galletas con chispas de chocolate por encontrar su anillo de compromiso entre café molido usado en el basurero. Ahhh, esos eran los días. ¿Estás seguro de que no has cometido un error? Ojalá no.
"... no está claro que Stevin fuera consciente de la naturaleza verdadera y correcta de los números reales y sus diferentes tipos". Para mí, no está claro si alguien ha sido o será alguna vez "consciente de la naturaleza verdadera y correcta de los números reales", o en realidad, lo que eso significaría.
@TorstenSchoeneberg Excelente punto. Todavía hay mucho debate sobre la naturaleza del continuo.

El hombre, como colectivo, se acredita en una cita famosa: "Dios hizo los números enteros; todo lo demás es obra del hombre" (o " Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk "). La cita se atribuye a menudo a Leopold Kronecker, véase, por ejemplo, "Philosophies of Mathematics", p. 13, Alexander George, Daniel J. Velleman, 2001. Aparentemente, se cuestiona la autenticidad de la cita.

Este libro también le da crédito a Dedekind:

De particular interés a este respecto es el logro, debido principalmente al matemático alemán Richard Dedekind (1831-1916), de definir los números enteros, racionales y reales, dando por sentado sólo el sistema de los números naturales.

De mi educación, con un toque occidental, el corte de Dedekind fue una construcción de números reales que me permitió obtener una imagen interna instantánea (quizás defectuosa) de los reales, basada en racionales (naturales), que no captaba antes (con interminables representaciones decimales). Lo aprendí mientras estudiaba aproximaciones racionales (diofánticas) de raíces polinómicas en el campo real y en campos finitos (fracciones continuas).

En la historia de la ciencia, la persona que obtiene créditos no siempre es la primera. En Occidente, C. Colón a menudo obtiene créditos por descubrir América, lo que probablemente sea injusto. ¿Debe acreditarse también el primero que demuestre que hubo al menos un número irracional?

Comienzo (después de sus comentarios) a pensar que las respuestas dependen de "¿qué tipo de números reales?", en otras palabras, ¿qué estructura? ¿Como puntos en una línea, como una sucesión de figuras, como un anillo o estructura de campo, como un espacio vectorial o un álgebra, como un "sentido" de continuidad?

Por mi conocimiento de segunda mano, algunos dicen que los matemáticos árabes/musulmanes (en un sentido amplio) fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos (posiblemente solo irracionales), y los indios desarrollaron series trigonométricas (Ideas de cálculo en el Islam y la India , Katz, 1995). Y la primera vez que escuché sobre (una instancia de) la base de Hamel ,

una base para los números reales \mathbb{R} como un espacio vectorial sobre el campo \mathbb{Q} de números racionales

Comprendí que mi nivel en matemáticas era demasiado estrecho para entender qué eran realmente los números reales. Dado que a Heron of Alexandria a veces se le atribuye la primera noción (occidental) de números imaginarios, ¿podemos esperar que el real se descubriera después del complejo?

En realidad, esta cita se atribuye incorrectamente a Kronecker directamente. Un colega suyo llamado Weber afirmó después de la muerte de Kronecker que Kronecker dijo esto. Tengo serias dudas sobre esto porque Kronecker no habría usado el término "entero". Sospechaba casi tanto de los números negativos como de los trascendentales. Además, escribió específicamente que los números son una creación de la mente humana.
No estoy seguro de lo que intentas decir sobre Dedekind. Todo el mundo sabe que desarrolló una construcción detallada de los números reales. Lo que estoy argumentando es que hubo una construcción bastante adecuada en la literatura mucho antes de la suya. Cauchy, por su parte, se basó en decimales interminables sin experimentar ninguna necesidad de dar una construcción abstracta alternativa de los mismos.
De hecho, Hawking se basó en información errónea sobre Kronecker cuando eligió un título para su libro (de Hawking).
@Mikhail Katz Gracias por los comentarios. Siendo solo un aficionado en la historia de las matemáticas, hice lo mejor que pude para aclarar los puntos confusos y defectuosos.
La idea de que Kronecker tenía reservas sobre los números negativos rápidamente se vuelve ridícula cuando comienzas a leer sus obras.
@FranzLemmermeyer, ¿estás leyendo al propio Kronecker o presentaciones modernas de su trabajo? Para conocer la posición del propio Kronecker, es posible que desee consultar el excelente estudio de Boniface y Schappacher aquí .

La historia del punto decimal es mucho más antigua que Simon Stevin.

Según Joseph Needham y Lam Lay Yong, las fracciones decimales fueron desarrolladas y utilizadas por primera vez por los chinos en el siglo I a. Pero el libro chino más antiguo que introduce un equivalente de marca decimal es del siglo XIII.

A mediados del siglo X, Al-Uqlidisi escribió "Kitab al-fusul fi al-hisab al-Hindi" (Libro del capítulo de aritmética india), que es el libro más antiguo que se conserva que presenta el sistema indio. (Sobrevivió en una copia del original que se hizo en 1157).

En la cuarta parte de este libro, Al-Uqlidisi mostró cómo modificar los métodos de cálculo con símbolos indios, que habían requerido una tabla de polvo, a métodos que podían llevarse a cabo con lápiz y papel. Este requisito de una tabla de polvo había sido un obstáculo para la aceptación del sistema indio.

El libro de Al-Uqlidisi también es históricamente importante, ya que es el texto más antiguo conocido que ofrece un tratamiento directo de las fracciones decimales. Al-Uqlidisi usó un guión decimal, arriba del primer dígito de la parte fraccionaria del número decimal. (Muy simple si se compara con la notación de Stevin. Pero similar al punto decimal usado por Bartholomaeus Pitiscus).

Mientras que el matemático persa Jamshīd Al-Kāshī afirmó haber descubierto las fracciones decimales en el siglo XV, J. Lennart Berggrenn señala que estaba equivocado, ya que Al-Uqlidisi utilizó por primera vez las fracciones decimales cinco siglos antes que él, ya en el siglo X. .

Rashed pone en perspectiva la importante contribución de Al-Kashi. Muestra que los principales avances aportados por Al-Kashi son:

(1) La analogía entre ambos sistemas de fracciones; los sistemas sexagesimal y decimal.

(2) El uso de fracciones decimales ya no para aproximarse a números reales algebraicos, sino para números reales como π.

(Lo siento, no tengo permitido publicar más de dos enlaces).

http://vedicsciences.net/articles/history-of-numbers-part-2.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Al-Uqlidisi.html

Todo esto es irrelevante porque no hay evidencia de que ninguna de estas fuentes tuviera la intención de usar decimales interminables .
En su estudio de la hidrostática De Beghinselen des Waterwichts de 1586, Stevin usó lo que llamó "prueba por medio de números". Este enfoque es similar a un límite, aunque Stevin no tenía la definición general de ese concepto, y parece que él en realidad no creía en procesos infinitos. Dijo que prefería el enfoque griego antiguo y que su método era solo una ilustración de sus resultados, no una prueba. No obstante, el trabajo de Stevin ayudó a promover la idea de los límites,
¿Quién recibe crédito por los números reales?
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