Esta composición de funciones viola la definición, ¿por qué?

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Esta composición de funciones viola la definición, ¿por qué?

cálculo
notación
funciones
Matemáticas
análisis real
cálculo multivariable

JDoeDoe

Me dan lo siguiente:

tenemos las funciones
$\begin{aligned} (1) & a & : R^{2} \to R \\ (2) & b & : R^{3} \to R \end{aligned}$ $\begin{align} a&: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \tag 1\\ b&: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \tag 2 \end{align}$ y la composición de la función es $\begin{matrix} (3) & C = a \circ b : R^{4} \to R \end{matrix}$ $c = a \circ b: \mathbb R^4 \rightarrow \mathbb R \tag 3$

Pero esta composición no coincide con la definición de Wikipedia :

Las funciones $f:X \rightarrow Y$ y $g:Y\rightarrow Z$ se componen para producir una función... La función compuesta resultante se denota $g\circ f : X \rightarrow Z$ , definido por $(g\circ f)(x) = g(f(x))$ .

De la definición el rango de $f$ es igual al dominio de $g$ . Pero esto no se aplica a $(1)$ y $(2)$ . ¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre lo que está pasando en $(1)-(3)$ ?

¡Gracias!

Actualizar:

Vi este ejemplo en un libro de física.

tenemos la ecuacion diferencial $\frac{d r(t)}{dt}= u(r(t))$ dónde
$\begin{aligned} (4) & tu & : R^{3} \to R^{3} \\ (5) & r & : R \to R^{3} \\ (6) & \frac{d r (t)}{d t} & : R \to R^{3} \end{aligned}$ $\begin{align} u&: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \tag 4\\ r&: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^3 \tag 5 \\ \frac{d r(t)}{dt}&:\mathbb R \rightarrow \mathbb R^3 \tag 6 \end{align}$

Supongo $\frac{d r(t)}{dt}$ es la composición pero no es correcta según la definición.

MPW

Como se establece,

c

$c$ no tiene sentido "Composición" significa que la salida de una función alimenta la entrada de otra función. Entonces, si tuviera sentido, la función

a \circ b

$a\circ b$ tomaría un elemento

x

$x$ del dominio de la función

b

$b$ , y alimentar la salida

b (x)

$b(x)$ en la función

a

$a$ (entonces

b (x)

$b(x)$ debe estar implícitamente en el dominio de

a

$a$ si es para servir como insumo para

a

$a$ ), produciendo la salida

a (b (x))

$a(b(x))$ . Por eso uno dice que

(a \circ b) (x) = a (b (x))

$(a\circ b)(x) = a(b(x))$ . En tu caso,

b (x)

$b(x)$ es un número real, no un punto en el dominio de

R^{2}

$\mathbb R^2$ de

a

$a$ .

Respuestas (3)

Esta composición de funciones viola la definición, ¿por qué?

Como se establece, $c$ no tiene sentido "Composición" significa que la salida de una función alimenta la entrada de otra función. Entonces, si tuviera sentido, la función $a\circ b$ tomaría un elemento $x$ del dominio de la función $b$ , y alimentar la salida $b(x)$ en la función $a$ (entonces $b(x)$ debe estar implícitamente en el dominio de $a$ si es para servir como insumo para $a$ ), produciendo la salida $a(b(x))$ . Por eso uno dice que $(a\circ b)(x) = a(b(x))$ . En tu caso, $b(x)$ es un número real, no un punto en el dominio de $\mathbb R^2$ de $a$ .

roberto israel · Answer 1

$a \circ b$ no existe. $a \circ b$ significa la función definida por $(a \circ b)(x) = a(b(x))$ . Pero tu $a$ necesita actuar sobre un miembro de $\mathbb R^2$ , mientras $b(x)$ solo esta en $\mathbb R$ .

EDITAR: Para su ejemplo de física, la única composición que veo es $u(r(t))$ , que podría escribirse como $(u \circ r)(t)$ . Esto está bien porque $r: \mathbb R \to \mathbb R^3$ y $u: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ .

Gracias por la respuesta. Actualicé mi pregunta con un segundo ejemplo. ¿Tiene algún sentido?

noah schweber · Answer 2

Tu segundo ejemplo me parece correcto:

$r$ toma un real y genera un triple de reales.
$u$ toma un triple de reales y produce un triple de reales.
Entonces " $u\circ r$ " está bien definido: es "do $r$ primero y luego $u$ , y toma un real y genera un triple de reales.

Tenga en cuenta que $r$ y $u(r)$ tienen el mismo "tipo:" ambas son funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^3$ . En general, el tipo de una función será el mismo que el tipo de la derivada de esa función (¡suponiendo que este último realmente tenga sentido!).

md2perpe · Answer 3

En su primer ejemplo (con $a$ y $b$ ) la composición $a \circ b$ no está claramente definido, aunque podría ser que $b$ mapas en el $x$ -eje para que la composición esté destinada a ser $(a \circ b)(x) := a(b(x), 0)$ que es un mapeo $\mathbb R^3 \to \mathbb R$ si $b : \mathbb R^3 \to \mathbb R$ y $a : \mathbb R^2 \to \mathbb R.$ de donde sacaste $\mathbb R^4$ No puedo entender.

Sin embargo, el ejemplo en "Actualizar" es correcto: $r : \mathbb R \to \mathbb R^3$ describe la trayectoria de alguna partícula, es decir $r(t)$ dice dónde se encuentra la partícula como un tiempo específico $t$ , $u : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ es un campo vectorial, y $u \circ r : \mathbb R \to \mathbb R^3$ expresa cómo el campo vectorial experimentado por la partícula depende del tiempo. La ecuacion $\frac{dr(t)}{dt} = (u \circ r)(t) = u(r(t))$ es una ecuación diferencial que describe una partícula que en todo momento se mueve en la dirección del campo vectorial donde se encuentra la partícula, y con una velocidad dada por la magnitud del campo vectorial. La solución es la trayectoria de la partícula.

Esta composición de funciones viola la definición, ¿por qué?

JDoeDoe

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Respuestas (3)

roberto israel

JDoeDoe

noah schweber

md2perpe

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