Entendiendo la cohomología de De Rham: geométricamente hablando, cuando una función suave es cerrada

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Entendiendo la cohomología de De Rham: geométricamente hablando, cuando una función suave es cerrada

Matemáticas
Topología algebraica
formas-diferenciales
geometría diferencial

un estudiante

En Wikipedia, los grupos de cohomología de De Rham se definen como los grupos de cohomología del complejo de cocadena de De Rham (clases de equivalencia de diferenciales). $k$ -formas).

Según esta definición, el grupo de cohomología cero de De Rham es el conjunto de todas las formas cero diferenciales cerradas módulo todo exacto $0$ -formas (es decir modulo la imagen del exterior derivado). en fórmula,

H_{d R}^{0} = \frac{\ker d^{1}}{i metro d^{0}} = \ker d^{1}

$H^0_{dR} = {\ker d^{1}\over \mathrm{im } d^0 } = \ker d^{1}$

Desde $d^0: 0 \to \Omega^0$ es el mapa trivial.

Pregunta 1: ¿Estoy en lo correcto hasta ahora?

Usando la notación y la terminología en Wikipedia $H_0$ es por tanto el conjunto de todos los cerrados $0$ -formas. Desde $0$ -las formas son funciones suaves surge la pregunta que significa para una función suave $f$ ser cerrado, es decir, que $f$ tener una derivada exterior que se desvanece $df=0$ .

Pregunta 2: ¿Cómo determinar si una función suave es cerrada?

invitado

¿Qué libro(s) estás usando para estudiar la cohomología de De Rham? Wikipedia no es exactamente la mejor fuente. ¿Del cálculo a la cohomología? ¿Algo más?

usuario98602

Sabes que

d f

$df$ esta en coordenadas?

un estudiante

@guest No, uso Wikipedia en este momento. No conozco ninguna buena fuente para aprender la teoría de De Rham.

un estudiante

@MikeMiller No, ¿qué quiere decir con "en coordenadas"?

usuario98602

Wikipedia es quizás la segunda peor fuente posible para aprender la teoría de Rham. Algunas fuentes populares son el libro de Lee o el libro de Warner sobre variedades diferenciables; o (como dice el invitado a continuación) "del cálculo a la cohomología" de Madsen. ("En coordenadas" significa que toma un gráfico e identifica esa parte de la variedad con

R^{n}

$\Bbb R^n$ ; esto es normalmente como uno define

d f

$df$ )

invitado

@astudent A juzgar por su respuesta a Mike, necesita un buen libro sobre la cohomología de Rham comenzando desde el principio y siendo explícito. Recomiendo 'del cálculo a la cohomología'.

un estudiante

@guest Gracias por la recomendación del libro. La biblioteca está cerrada hasta la próxima semana. Una vez que se vuelva a abrir, revisaré el libro. Espero que, mientras tanto, pueda seguir aprendiendo sobre la cohomología de De Rham usando lo que tengo.

aes

Te apoyo completamente en encontrar una mejor fuente y obtener un libro de la biblioteca. Puede haber una referencia en línea aceptable (realice una búsqueda o, si no puede encontrar una, publique una pregunta al respecto). Aquí hay una página de wikipedia para leer por el momento.

un estudiante

@MikeMiller Oh, ese tipo de coordenadas. Sé de gráficos. Pero no estoy seguro de la relación entre los gráficos y la derivada exterior. Entonces, para responder a tu pregunta, no, no sé cómo escribir.

d f

$df$ en coordenadas. Gracias por las recomendaciones de libros. Tengo que esperar hasta que la biblioteca vuelva a abrir el próximo año.

un estudiante

Miré a Madsen en Amazon y las reseñas sugieren que no es adecuado para un principiante y es difícil de leer.

Respuestas (1)

Entendiendo la cohomología de De Rham: geométricamente hablando, cuando una función suave es cerrada

¿Qué libro(s) estás usando para estudiar la cohomología de De Rham? Wikipedia no es exactamente la mejor fuente. ¿Del cálculo a la cohomología? ¿Algo más?
@guest No, uso Wikipedia en este momento. No conozco ninguna buena fuente para aprender la teoría de De Rham.
Wikipedia es quizás la segunda peor fuente posible para aprender la teoría de Rham. Algunas fuentes populares son el libro de Lee o el libro de Warner sobre variedades diferenciables; o (como dice el invitado a continuación) "del cálculo a la cohomología" de Madsen. ("En coordenadas" significa que toma un gráfico e identifica esa parte de la variedad con $\Bbb R^n$ ; esto es normalmente como uno define $df$ )
@astudent A juzgar por su respuesta a Mike, necesita un buen libro sobre la cohomología de Rham comenzando desde el principio y siendo explícito. Recomiendo 'del cálculo a la cohomología'.
@guest Gracias por la recomendación del libro. La biblioteca está cerrada hasta la próxima semana. Una vez que se vuelva a abrir, revisaré el libro. Espero que, mientras tanto, pueda seguir aprendiendo sobre la cohomología de De Rham usando lo que tengo.
Te apoyo completamente en encontrar una mejor fuente y obtener un libro de la biblioteca. Puede haber una referencia en línea aceptable (realice una búsqueda o, si no puede encontrar una, publique una pregunta al respecto). Aquí hay una página de wikipedia para leer por el momento.
@MikeMiller Oh, ese tipo de coordenadas. Sé de gráficos. Pero no estoy seguro de la relación entre los gráficos y la derivada exterior. Entonces, para responder a tu pregunta, no, no sé cómo escribir. $df$ en coordenadas. Gracias por las recomendaciones de libros. Tengo que esperar hasta que la biblioteca vuelva a abrir el próximo año.
Miré a Madsen en Amazon y las reseñas sugieren que no es adecuado para un principiante y es difícil de leer.

steven gubkin · Answer 1

steven gubkin

Piensa en esto en el caso de $\mathbb{R}^1$ . que tipo de funciones tiene $\frac{df}{dx} = 0$ ¿en todos lados?

Después de esto, ¿qué sucede en $\mathbb{R}^n$ cuando todas las derivadas parciales desaparecen?

Ahora un caso un poco más difícil: En $\mathbb{R}^1-\{0\}$ , ¿qué tipo de funciones pueden tener derivada nula? ¿Existen más o menos tales funciones que para todos $\mathbb{R}^1$ ?

Tal vez ahora estés empezando a adivinar que la dimensión de $H^0$ cuenta algo. ¿Qué cuenta?

un estudiante

¡Gracias por su respuesta! La primera es fácil: funciones constantes. La segunda pregunta ya me cuesta. En

R^{3}

$\mathbb R^3$ significa que es un plano paralelo al

x - y -

$x-y-$ eje pero no me queda claro cómo generalizar a

R^{n}

$\mathbb R^n$ . ¿Podría la respuesta ser que la imagen de

f

$f$ es un

n - 1

$n-1$ -plano dimensional con vector normal

e_{n} = (0, 0, \dots, 0, 1)

$e_n=(0,0,\dots, 0,1)$ ?

un estudiante

(Conozco el teorema de De Rham y conozco la homología celular:

H^{0}

$H^0$ cuenta los componentes conectados)

hjhjhj57

Si

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} = 0

$\frac{\partial f}{\partial x_i} = 0$ por alguna coordenada

x_{i}

$x_i$ entonces

f

$f$ es constante en esa dirección.

steven gubkin

@astudent cuando todos los parciales desaparecen en

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ , la respuesta es la misma: la función debe ser una función constante. Probablemente la forma más fácil de ver esto es usar el resultado de una variable repetidamente. ¿Ves cómo la cohomología de Rham está contando los componentes conectados para el caso de

R - {0}

$\mathbb{R}-\{0\}$ ?

steven gubkin

@astudent Esto está relacionado con una mentira que les decimos a los estudiantes de cálculo: que una antiderivada parece

F (x) + C

$F(x)+C$ , dónde

C

$C$ es una constante En realidad

C (x)

$C(x)$ debe ser una función localmente constante!

un estudiante

Estoy empezando a entender, el ejemplo

R - 0

$\mathbb R - 0$ realmente ayudó La función con derivada nula las hay que igualan alguna constante en

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$ y alguna otra constante en

(0, \infty)

$(0,\infty)$ . Entonces la cohomología de De Rham

R \oplus R

$\mathbb R \oplus \mathbb R$ cuenta esas funciones?

un estudiante

No estoy seguro de que esté bien hacerle otra pregunta en los comentarios (si no, publicaré una nueva pregunta): pero ahora me pregunto acerca de los generadores de la cohomología de De Rham de un espacio conectado. Mi comprensión recién adquirida sugiere que cualquier función constante debería generar

H_{d R}^{0}

$H^0_{dR}$ . ¿Es eso correcto?

steven gubkin

@astudent Exactamente correcto. De lo contrario, son las funciones localmente constantes, que son isomorfas a

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ , dónde

n

$n$ es el número de componentes conectados del espacio. El siguiente paso es empezar a pensar en

H^{1}

$H^1$ . Para eso, sugiero primero entender el lema de Poincaré y luego lidiar con

H^{1}

$H^1$ de

R^{2} - {(0, 0)}

$\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$ .

steven gubkin

@astudent, también puede estar interesado en mis respuestas aquí: math.stackexchange.com/q/664648/34287 , math.stackexchange.com/q/975327/34287 , math.stackexchange.com/q/595657/34287

steven gubkin

Por cierto, realmente recomiendo el libro de Shiffrin "Matemáticas multivariables" como precursor de cualquier estudio de la cohomología de De Rham. Es "cálculo multivariable bien hecho". También te puede interesar mi curso aquí: ximera.osu.edu/course/kisonecat/m2o2c2/course/ que conduce al teorema de Taylor multivariable, con tensores. Esta es una especie de ortogonal a la historia de las formas diferenciales (simétrica en lugar de tensores alternos), pero una historia bastante buena que no se cuenta a menudo.

un estudiante

He comenzado a trabajar a través de sus comentarios secuencialmente. Me quedé atascado después de tratar de aplicar el lema de Poincaré para calcular

H^{1}

$H^1$ . Voy a publicar esta pregunta en una nueva publicación.

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