¿Energías del estado fundamental con fermiones del mismo espín?

Considere dos fermiones que no interactúan (espín medio entero) confinados en una 'caja'. Construya las funciones de onda antisimétricas y compare las energías de estado fundamental correspondientes de los dos sistemas; uno con partículas de espín idéntico y el otro con partículas de espín opuesto.

Ahora, la función de onda con espín opuesto es increíblemente fácil. Uno puede simplemente duplicar la función de onda de espín para el helio, ¿verdad?

Lo que me confunde es la energía del "estado fundamental" de una función de onda con dos fermiones de espín idéntico. ¿No es eso imposible? ¿No se vería esto como helio no excitado con los mismos electrones de espín en el orbital 1S (que no se puede hacer)?

No puedes poner dos electrones del mismo espín en el orbital 1s. Su estado fundamental polarizado por espín es la "mejor opción disponible" de 1s2s
Soy consciente, de ahí mi pregunta original y mi confusión.
Lo siento, entonces realmente no entiendo tu pregunta (y la confusión). ¿Tal vez es terminología? 1s2s con proyección de giro total restringida es el estado de energía más bajo bajo esta restricción adicional, no realmente el "estado fundamental". ¿O es algo más lo que causa confusión?
Estás confundiendo el estado fundamental del sistema con el estado fundamental de las partículas individuales. El estado fundamental del sistema es el estado con la energía total más baja. Tienes que tener en cuenta las simetrías requeridas.
Piénselo de esta manera: resolver la ecuación de Schrödinger le da un montón de estados propios (de una sola partícula). Al construir funciones de onda fermiónicas (que no interactúan), simplemente coloca fermiones en los estados, comenzando con el más bajo disponible y siguiendo el principio de exclusión de Pauli. Entonces, si los giros son diferentes, ambos pueden entrar en el orbital 1S. Si los giros son los mismos, uno va en el más bajo disponible, 1S, el otro va en el siguiente más bajo disponible, 2S.

Respuestas (1)

La partícula de masa metro en el cuadro de longitud L en 1D se resuelve mediante funciones de onda

ψ norte α = A pecado ⁡ ( k norte X ) mi − ω norte t | α ⟩ , k norte = norte π L , mi norte = ℏ ω norte , ω norte = π h norte 2 4 L 2 metro .
Aquí, | α ⟩ representa el estado de espín.

La función de onda fermiónica global para dos partículas se construye a partir de todos los pares por antisimetrización, como

Ψ norte α metro β ( X 1 , X 2 , t ) = ψ norte α ( X 1 , t ) ψ metro β ( X 2 , t ) − ψ metro β ( X 1 , t ) ψ norte α ( X 2 , t ) .
Energía de estado Ψ norte α metro β ( X 1 , X 2 , t ) se puede calcular como
( H 1 + H 2 ) Ψ norte α metro β ( X 1 , X 2 , t ) = ( mi norte + mi metro ) Ψ norte α metro β ( X 1 , X 2 , t ) ,
ya que cada uno de los hamiltonianos de una partícula actúa sobre la respectiva función de onda de una partícula ψ norte α ( X 1 , t ) , que produce su energía propia mi norte .

Para giros idénticos, sólo estamos interesados ​​en soluciones para las cuales α =↑ y β =↑ . El estado fundamental es el estado de energía más bajo del sistema. En este caso, correspondería a Ψ 1 ↑ 1 ↑ , pero esta función es idénticamente cero. Luego, los siguientes dos estados más bajos son Ψ 1 ↑ 2 ↑ y Ψ 2 ↑ 1 ↑ . Gracias a la antisimetrización, Ψ 1 ↑ 2 ↑ = − Ψ 2 ↑ 1 ↑ y representa el estado fundamental del sistema con energía mi 1 + mi 2 . Para giros opuestos, elegimos α =↑ y β =↓ . Aquí, el estado de energía más bajo es Ψ 1 ↑ 1 ↓ y tiene energia 2 mi 1 .

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