Encuentre valores propios y vectores propios de esta matriz

Problema: Deja

$$\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \end{align*}$$ Calcule todos los valores y vectores propios de $A$.

Intento de solución: Encontré los valores propios calculando el polinomio característico. esto me da

$$\begin{align*} \det(A - x \mathbb{I}_4) = \det \begin{pmatrix} 1-x & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1-x & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-x \end{pmatrix} = -x^3 (x-4) = 0 \end{align*}$$ después de muchos pasos. Entonces los valores propios son $\lambda_1 = 0$con multiplicidad $3$y $\lambda_2 = 4$con multiplicidad $1$.

Ahora estaba tratando de averiguar cuáles son los vectores propios correspondientes a estos valores propios. Por definición tenemos$Av = \lambda v$, dónde$v$es un vector propio con el valor propio correspondiente. Así que lo hice por$\lambda_2 = 4$:

$$\begin{align*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{align*}$$ Creo que esto solo es posible cuando $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 1$. Entonces tengo razón al afirmar que todos los vectores propios correspondientes a $\lambda_2$son de la forma $t \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$con $t$algún número $\neq 0$? Para $\lambda_1 = 0$, no estoy seguro de cómo encontrar los vectores propios. El vector cero nunca es un vector propio. Esto significa $x_1, x_2, x_3$y $x_4$puede ser cualquier cosa mientras sumen cero?