Cómo mostrar el período se define por T = dS / dET = dS / dET = dS / dE (VI Arnold Mathemtical Physics) [cerrado]

Observe que la "velocidad" en el espacio de fase está dada por

$$\begin{equation} v_{\mathrm{ps}} = \sqrt{\dot{q}^2 + \dot{p}^2} = \sqrt{H_{p}^2 + H_q^2}. \end{equation}$$ Aquí, $H=H(p,q)$es el hamiltoniano y $H_p$y $H_q$son abreviaturas de $\partial H/\partial p$y $\partial H/\partial q$. Siempre que exista una curva cerrada de energía constante en el espacio de fase correspondiente a $H(p,q) = E$, el período está dado por $$\begin{equation} T(E) = \oint_{\partial D(E)}\frac{dl}{v_{\mathrm{ps}}} = \oint_{\partial D(E)}\frac{dl}{\sqrt{H_{p}^2 + H_q^2}} , \end{equation}$$ dónde $dl$es un elemento de longitud infinitesimal a lo largo de la curva. los simbolos $D(E)$y $\partial D(E)$denotan respectivamente la región delimitada por la curva de energía constante y la propia curva.

A continuación, el área de la región$D(E)$es dado por

$$\begin{equation} S(E) = \int_{D(E)} dpdq. \end{equation}$$ Se puede hacer un cambio de variable desde ( $p,q$) a ( $E,l$), dónde $l$para una dada $E$parametriza la curva de energía constante tal que $dl$es su elemento de longitud infinitesimal. En principio, se debe calcular el determinante jacobiano asociado. Pero una manera fácil de evitar esto es notar primero que el elemento de área del espacio de fase se puede escribir como $dl_E\, dl$, dónde $dl_{E}$es el elemento de longitud en la dirección perpendicular a una curva de energía constante. esta relacionado con $dE$como sigue: $$\begin{equation} dl_{E} = \frac{dE}{|\nabla H|}=\frac{dE}{\sqrt{H_p^2 + H_q^2}}. \end{equation}$$ Por lo tanto, $$\begin{equation} S(E) = \int_{E_{\min}}^{E}dE^{\prime} \oint_{\partial D(E^{\prime})} \frac{dl}{\sqrt{H_p^2 + H_q^2}} . \end{equation}$$ Comparando las expresiones de $T(E)$y $S(E)$conduce al resultado deseado.