Condiciones de contorno para el cálculo de variaciones en el espacio de fase y bajo transformaciones canónicas

Question

Condiciones de contorno para el cálculo de variaciones en el espacio de fase y bajo transformaciones canónicas

Física
espacio de fase
sistemas coordinados
condiciones de borde
mecanica clasica
formalismo hamiltoniano

dennismore94

Puede que sea una pregunta tonta, pero no lo entiendo. En la mecánica hamiltoniana al examinar las condiciones para un $(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})\rightarrow(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P})$ la transformación para ser canónica se inicia con

{\dot{q}}_{i} {pag}^{i} - H (q, pag, t) = {\dot{q}}_{i} {PAG}^{i} - \bar{H} (q, PAG, t) + \frac{d}{d t} W (q, q, t)

$\dot{q}_ip^i-H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)= \dot{Q}_iP^i-\bar{H}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{P},t)+\frac{d}{dt}W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)$ dónde

\bar{H}

$\bar{H}$ es el hamiltoniano transformado, y

W

$W$ es la función generadora (ahora una función de

q

$\boldsymbol{q}$ y

Q

$\boldsymbol{Q}$ ). Este término no debería romper el principio de Hamilton, ya que

d \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \frac{d}{d t} W (q, q, t) = d W (q, q, t) |_{t_{2}} - d W (q, q, t) |_{t_{1}} = 0 - 0 = 0 .

$\delta\int_{t_1}^{t_2} dt\frac{d}{dt}W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)=\delta W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)|_{t_2}-\delta W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)|_{t_1}=0-0=0 .$ Pero no veo por qué la variación de

W

$W$ debe desaparecer en los puntos finales (digamos en

t_{1}

$t_1$ ). La expansión conduce a:

d W (q, q, t) |_{t_{1}} = {(\frac{\partial W}{\partial q_{i}})}_{t_{1}} \underset{= 0}{\underset{⏟}{d q_{i} (t_{1})}} + {(\frac{\partial W}{\partial q_{i}})}_{t_{1}} d q_{i} (t_{1}) = {(\frac{\partial W}{\partial q_{i}})}_{t_{1}} d q_{i} (t_{1}) .

$\delta W(\boldsymbol{q},\boldsymbol{Q},t)|_{t_1}=\left(\frac{\partial W}{\partial q_i}\right)_{t_1}\underbrace{\delta q_i(t_1)}_{=0}+ \left(\frac{\partial W}{\partial Q_i}\right)_{t_1}\delta Q_i(t_1)=\left(\frac{\partial W}{\partial Q_i}\right)_{t_1}\delta Q_i(t_1).$

Q

$\boldsymbol{Q}$ es en sí mismo una función de

q

$\boldsymbol{q}$ y

p

$\boldsymbol{p}$ , entonces

d q_{i} (t_{1}) = {(\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{k}})}_{t_{1}} \underset{= 0}{\underset{⏟}{d q_{k} (t_{1})}} + {(\frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{k}})}_{t_{1}} d {pag}_{k} (t_{1}) = {(\frac{\partial q_{i}}{\partial {pag}_{k}})}_{t_{1}} d {pag}_{k} (t_{1}) .

$\delta Q_i(t_1)=\left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_k}\right)_{t_1}\underbrace{\delta q_k(t_1)}_{=0}+\left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_k}\right)_{t_1}\delta p_k(t_1)=\left(\frac{\partial Q_i}{\partial p_k}\right)_{t_1}\delta p_k(t_1).$ Parece como si también necesitáramos la variación de

p

$\boldsymbol{p}$ desaparecer en los puntos finales, y no entiendo esto porque (al menos en coordenadas cartesianas)

p = m \dot{q}

$\boldsymbol{p}=m\dot{\boldsymbol{q}}$ y la velocidad puede ser diferente a lo largo de los orbitales original y variado incluso en los puntos finales (pueden apuntar en direcciones totalmente diferentes), por lo que en general

δ \dot{q} (t_{1}) \neq 0

$\delta \dot{\boldsymbol{q}}(t_1)\neq 0$ . ¿Qué estoy haciendo mal? ¿Alguien me puede ayudar con esto por favor?

trevor kafka

Los puntos finales se mantienen fijos durante la variación de la trayectoria, por lo que la variación de cualquier función en los puntos finales es cero.

dennismore94

Los puntos finales son fijos de hecho (

δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0

$\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ ), pero para alguna función

f (q, p)

$f(\boldsymbol{q,p})$ ,

δ f (q, p) = 0

$\delta f(\boldsymbol{q,p})=0$ requeriría

δ p (t_{1}) = δ p (t_{2}) = 0

$\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ también y no puedo ver cómo arreglar los puntos finales solamente (¡y no los derivados!) garantiza esta condición.

trevor kafka

creo que estas confundido

δ p

$\delta p$ y

p

$p$ . Estamos variando ambos

q

$q$ y

p

$p$ cuando trabajamos en un principio variacional pero mantenemos ambos

q

$q$ y

p

$p$ fijos en los extremos del camino.

δ q = δ p = 0

$\delta q = \delta p = 0$ en los puntos finales, incluso si los valores de

q

$q$ y

p

$p$ son distintos de cero ellos mismos.

dennismore94

OK, creo que esto es lo que en realidad no entiendo: here

δ p (t_{1}) = δ p (t_{2}) = 0

$\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ es lo mismo que

δ \dot{q} (t_{1}) = δ \dot{q} (t_{2}) = 0

$\delta \dot{q}(t_1)=\delta \dot{q}(t_2)=0$ sería en la mecánica lagrangiana (nuevamente, pensando en coordenadas cartesianas), pero en la mecánica lagrangiana no tenemos este tipo de condición para la velocidad. ¿O nosotros?

Respuestas (1)

Condiciones de contorno para el cálculo de variaciones en el espacio de fase y bajo transformaciones canónicas

Los puntos finales se mantienen fijos durante la variación de la trayectoria, por lo que la variación de cualquier función en los puntos finales es cero.
Los puntos finales son fijos de hecho ( $\delta q(t_1)=\delta q(t_2)=0$ ), pero para alguna función $f(\boldsymbol{q,p})$ , $\delta f(\boldsymbol{q,p})=0$ requeriría $\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ también y no puedo ver cómo arreglar los puntos finales solamente (¡y no los derivados!) garantiza esta condición.
creo que estas confundido $\delta p$ y $p$ . Estamos variando ambos $q$ y $p$ cuando trabajamos en un principio variacional pero mantenemos ambos $q$ y $p$ fijos en los extremos del camino. $\delta q = \delta p = 0$ en los puntos finales, incluso si los valores de $q$ y $p$ son distintos de cero ellos mismos.
OK, creo que esto es lo que en realidad no entiendo: here $\delta p(t_1)=\delta p(t_2)=0$ es lo mismo que $\delta \dot{q}(t_1)=\delta \dot{q}(t_2)=0$ sería en la mecánica lagrangiana (nuevamente, pensando en coordenadas cartesianas), pero en la mecánica lagrangiana no tenemos este tipo de condición para la velocidad. ¿O nosotros?

qmecanico · Answer 1

Estas son muy buenas preguntas.

Comencemos con las antiguas variables del espacio de fase. $(q^k,p_{\ell})$ . La acción hamiltoniana es
$\begin{matrix} (A) & S_{H} = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{H}, L_{H} := {\dot{q}}^{j} {pag}_{j} - H (q, pag, t) . \end{matrix}$ $S_H~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L_H, \qquad L_H~:=~\dot{q}^j p_j - H(q,p,t).\tag{A}$ Su variación infinitesimal dice $\begin{matrix} (B) & d S_{H} = términos masivos + términos-límite, \end{matrix}$ $\delta S_H ~=~ \text{bulk-terms} ~+~ \text{boundary-terms},\tag{B}$ dónde $\begin{matrix} (C) & términos masivos = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t (\frac{d S_{H}}{d q^{j}} d q^{j} + \frac{d S_{H}}{d {pag}_{j}} d {pag}_{j}) \end{matrix}$ $\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt \left(\frac{\delta S_H}{\delta q^j}\delta q^j + \frac{\delta S_H}{\delta p_j}\delta p_j \right)\tag{C}$ producir las ecuaciones de Hamilton, y donde $\begin{matrix} (D) & términos-límite = {[{pag}_{j} \underset{= 0}{\underset{⏟}{d q^{j}}}]}_{t = t_{i}}^{t = t_{F}} = 0 \end{matrix}$ $\text{boundary-terms}~=~\left[p_j\underbrace{\delta q^j}_{=0} \right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{D}$ desaparecer como deberían debido a, digamos $^1$ , condiciones de contorno esenciales/Dirichlet (BC) $\begin{matrix} (MI) & q^{j} (t_{i}) = q_{i}^{j} y q^{j} (t_{F}) = q_{F}^{j} . \end{matrix}$ $q^j(t_i)~=~q^j_i\qquad\text{and}\qquad q^j(t_f)~=~q^j_f. \tag{E}$ Observe que los momentos $^2$ $p_j$ no están restringidos en el límite.
A continuación, consideremos nuevas variables de espacio de fase $(Q^k,P_{\ell})$ . La acción de tipo 1 dice $^3$
$S_{1} := \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{1} = S_{k} + {[F_{1} (q, q, t)]}_{t = t_{i}}^{t = t_{F}}, S_{k} := \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L_{k},$ $S_1~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L_1~=~S_K+\left[ F_1(q,Q,t) \right]_{t=t_i}^{t=t_f}, \qquad S_K~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt ~L_K,$ $\begin{matrix} (F) & L_{1} := L_{k} + \frac{d F_{1} (q, q, t)}{d t}, L_{k} := {\dot{q}}^{j} {PAG}_{j} - k (q, PAG, t), \end{matrix}$ $L_1~:=~L_K+\frac{dF_1(q,Q,t)}{dt}, \qquad L_K~:=~ \dot{Q}^j P_j - K(Q,P,t),\tag{F}$ donde las viejas posiciones $q^j=q^j(Q,P,t)$ son funciones implícitas de las nuevas variables del espacio de fase $(Q^k,P_{\ell})$ . Su variación infinitesimal dice $\begin{matrix} (GRAMO) & d S_{1} = términos masivos + términos-límite, \end{matrix}$ $\delta S_1 ~=~ \text{bulk-terms} ~+~ \text{boundary-terms},\tag{G}$ dónde $\begin{matrix} (H) & términos masivos = \int_{t_{i}}^{t_{F}} d t (\frac{d S_{1}}{d q^{j}} d q^{j} + \frac{d S_{1}}{d {PAG}_{j}} d {PAG}_{j}) \end{matrix}$ $\text{bulk-terms}~=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt \left(\frac{\delta S_1}{\delta Q^j}\delta Q^j + \frac{\delta S_1}{\delta P_j}\delta P_j \right)\tag{H}$ producir las ecuaciones de Kamilton, y donde $\begin{matrix} (I) & términos-límite = {[\underset{= 0}{\underset{⏟}{({PAG}_{j} + \frac{\partial F_{1}}{\partial q^{j}})}} d q^{j} + \frac{\partial F_{1}}{\partial q^{i}} \underset{= 0}{\underset{⏟}{d q^{j}}}]}_{t = t_{i}}^{t = t_{F}} = 0 \end{matrix}$ $\text{boundary-terms}~=~\left[\underbrace{\left(P_j+\frac{\partial F_1}{\partial Q^j}\right)}_{=0}\delta Q^j +\frac{\partial F_1}{\partial q^i}\underbrace{\delta q^j}_{=0} \right]_{t=t_i}^{t=t_f}~=~0\tag{I}$ desaparecer como deberían. Un inconveniente es que no es trivial cómo reformular los BC de Dirichlet (E) en las nuevas variables del espacio de fase. $(Q^k,P_{\ell})$ .

--

$^1$ Alternativamente, uno podría imponer BC naturales , o quizás alguna mezcla de los mismos.

$^2$ Tenga en cuenta que en QM entraría en conflicto con el HUP imponer simultáneamente BC en un par conjugado canónico.

$^3$ Convenciones de notación: Kamiltoniano $K\equiv\bar{H}$ y función generadora tipo 1 $F_1\equiv G_1\equiv W$ .

¡Ah, ahora veo! No lo es $\delta Q^i$ (y por lo tanto no $\delta p_k$ ) que debe desaparecer (y que no podría suceder de todos modos), pero es "coeficiente", lo que lo lleva a las conocidas condiciones canónicas para la función generadora. Gracias, buena respuesta :)

Condiciones de contorno para el cálculo de variaciones en el espacio de fase y bajo transformaciones canónicas

dennismore94

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dennismore94

Respuestas (1)

qmecanico

dennismore94

Principio de Hamilton modificado que restringe en exceso un sistema al imponer demasiadas condiciones de contorno

¿Cómo se justifica la relación entre las antiguas y las nuevas variables canónicas?

¿Por qué una transformación puntual en el espacio de configuración implica que P=∂q∂QpP=∂q∂QpP = \frac{\partial q}{\partial Q} p en el espacio de fase?

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