La conjetura periódica de Collatz

Considere la función

F ( norte ) = { norte / 2 si  norte  incluso 3 norte + 1 de lo contrario .

A partir de cualquier número entero positivo X 0 , podemos iterar la secuencia X 1 = F ( X 0 ) , X 2 = F ( X 1 ) , y así sucesivamente, con X norte = F norte ( X 0 ) . La conjetura de Collatz es un famoso problema sin resolver que afirma que la sucesión eventualmente alcanza 1 para cualquier valor inicial X 0 .

Podemos separar los pasos de la secuencia en movimientos "pares" e "impares", en función de si X norte es par o impar. Esto nos lleva a la siguiente conjetura, mucho más fácil:

No existe una sucesión de Collatz divergente tal que X norte modificación 2 es periódico.

(Esto no descarta la posibilidad de un ciclo no trivial; aquí estoy hablando solo de secuencias que van al infinito). ¿Podemos mostrar esto?

Respuestas (1)

Cualquier secuencia de paridades corresponde a la composición específica de las dos posibles transformaciones lineales, por lo tanto, a una transformación de la forma norte ↦ 3 a norte + b 2 C con enteros no negativos a , b , C . Para que esto produzca un número entero, debe darse el caso de que 2 C ∣ 3 a norte + b , es decir, norte debe estar en un módulo de clase de residuo específico 2 C . Como podemos considerar varios periodos en lugar de uno, se sigue que norte debe estar en un módulo de clase de residuo específico 2 k C para cada k ∈ norte . Esto significa que sólo puede haber uno de esos norte . Pero entonces 3 a norte + b 2 C debe ser el mismo número y por lo tanto la secuencia no diverge.

¿Este resultado implica que, suponiendo que hubiera algún ciclo o secuencia divergente al infinito, el punto límite de la función iterada F ( X ) = 3 X + 2 v 2 ( X ) sería irracional sobre Z 2 o divergir por | ⋅ | 2 ? Si esa pregunta incluso tiene sentido? Porque estoy bastante seguro de que sabemos que ese límite es 0 para todas las entradas enteras en cuyo caso tendríamos una contradicción.
La conjetura periódica de Collatz
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v