Dirección de productos cruzados en coordenadas esféricas.

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El producto cruz de un vector metro → con r ^ da metro pecado ⁡ θ ϕ ^ como afirma el autor.

Esto probablemente sería trivial, pero muchos de estos tecnicismos sutiles no se encontraron en mi curso multivariado de primer año. Esto está ralentizando considerablemente mi progresión en Física.

quiero saber como ϕ ^ está determinado.

Editar:

Me gustaría agregar que la dirección debido al producto cruzado anterior debe ser perpendicular a ambos metro → y r ^ . Claramente, debe estar en el plano xy para que sea mutuamente perpendicular a metro → y r ^ . Pero el ϕ es elusivo

Sugerencia: utilice un L A T mi X símbolo \sinde la función seno.

Respuestas (2)

Sean los vectores unitarios en coordenadas esféricas ρ ^ , θ ^ , ϕ ^ .

Tenga en cuenta que metro → = metro z ^ , eso z ^ = porque ⁡ θ ρ ^ − pecado ⁡ θ θ ^ y eso θ ^ × ρ ^ = − ϕ ^ .

Entonces el producto cruz es

metro → × ρ ^ = metro ( porque ⁡ θ ρ ^ − pecado ⁡ θ θ ^ ) × ρ ^ = metro pecado ⁡ θ ϕ ^ .

@Mathematicing ¿Respondió esto a su pregunta? De lo contrario, por favor hágamelo saber.
¿Puede darme un funcionamiento detallado de productos cruzados?
Es ρ =1? o es una combinación lineal de alguna base?
si, el largo ρ es 1, ya que es un vector unitario. ¿Qué parte del funcionamiento de productos cruzados le está causando problemas? Recuerde que los productos cruzados son distributivos, es decir, si a , b , C son vectores 3D, entonces a × ( b + C ) = a × b + a × C .
@Mathematicing También tenga en cuenta que ρ es un vector base.
En realidad, lo tengo. Estaba pensando en ello. Gracias por la ayuda.
@Mathematicing No hay problema :)

Compara las coordenadas esféricas y las coordenadas cartesianas:

norte → ( r , φ , θ ) = { X = r porque ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( θ ) y = r pecado ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( θ ) z = r porque ⁡ ( θ )

Por definición , los vectores unitarios del sistema de coordenadas esféricas son

r ^ = { X = porque ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( θ ) y = pecado ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( θ ) z = porque ⁡ ( θ ) , φ ^ = { X = − pecado ⁡ ( φ ) y = porque ⁡ ( φ ) z = 0 , θ ^ = { X = porque ⁡ ( φ ) porque ⁡ ( θ ) y = pecado ⁡ ( φ ) porque ⁡ ( θ ) z = − pecado ⁡ ( θ )


Si

metro → = { X = 0 y = 0 z = metro
entonces metro → × r ^ en coordenadas cartesianas es
metro → × r ^ = { X = − metro pecado ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( θ ) y = metro porque ⁡ ( φ ) pecado ⁡ ( θ ) z = 0
y metro pecado ⁡ ( θ ) φ ^ es
metro pecado ⁡ ( θ ) φ ^ = { X = − metro pecado ⁡ ( θ ) pecado ⁡ ( φ ) y = metro pecado ⁡ ( θ ) porque ⁡ ( φ ) z = 0
Los dos son obviamente iguales.

Dirección de productos cruzados en coordenadas esféricas.
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