Encontrar las condiciones para A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

Question

Encontrar las condiciones para A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

vectores
Matemáticas
producto cruzado
análisis vectorial

Rayo

Quería encontrar las condiciones en las que $\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C})$ es igual a $(\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}$ .

Al resolver $\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C})-(\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}=\mathbf{0}$ , Obtuve

\begin{matrix} (1) & A (B \cdot C) - C (A \cdot B) = 0 \end{matrix}

$\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C})- \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{0}\tag{1}$ En el manual de soluciones, se da que esto es posible si y solo si

A

$\mathbf{A}$ es paralelo a

C

$\mathbf{C}$ o

B

$\mathbf{B}$ es perpendicular a

A

$\mathbf{A}$ y

C

$\mathbf{C}$ .

Pero según lo que he aprendido, esto significa que $(1)$ será $\mathbf{0}$ sólo cuando ambos términos están en él son $\mathbf{0}$ . Pero aquí, ¿por qué no consideramos la igualdad de esos dos términos?

Estoy comenzando el análisis vectorial, por lo que sería muy útil si alguien pudiera ayudarme.

Respuestas (2)

Encontrar las condiciones para A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

egreg · Answer 1

La identidad de Jacobi es

A \times (B \times C) + B \times (C \times A) + C \times (A \times B) = 0

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})+ \mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})+ \mathbf{C}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{0}$ Usando la anticonmutatividad, obtenemos

A \times (B \times C) - (A \times B) \times C = - B \times (C \times A)

$\mathbf{A}\times(\mathbf{B}\times\mathbf{C})- (\mathbf{A}\times\mathbf{B})\times\mathbf{C}= -\mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})$ Si

A

$\mathbf{A}$ es paralelo a

C

$\mathbf{C}$ , entonces

C \times A = 0

$\mathbf{C}\times\mathbf{A}=\mathbf{0}$ . Si

B

$\mathbf{B}$ es perpendicular a ambos

A

$\mathbf{A}$ y

C

$\mathbf{C}$ , entonces es paralela a

C \times A

$\mathbf{C}\times\mathbf{A}$ y por lo tanto

B \times (C \times A) = 0

$\mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{0}$ .

¿Qué hay de lo contrario? Supongamos que los dos productos triples son iguales y que $\mathbf{A}$ no es paralelo a $\mathbf{C}$ . Entonces, para que $\mathbf{B}\times(\mathbf{C}\times\mathbf{A})=\mathbf{0}$ necesitamos eso $\mathbf{B}$ es paralelo a $\mathbf{C}\times\mathbf{A}$ .

Ben Dyer · Answer 2

Ben Dyer

Si $A$ es paralelo a $C$ entonces los dos términos son iguales, pero no son necesariamente iguales a cero individualmente.

Si $A$ y $C$ no son paralelos, entonces son linealmente independientes, por lo que los coeficientes de la combinación lineal deben ser cero (lo que se reduce a $B$ siendo perpendicular a ambos).

Rayo

B no depende de A ni de C, entonces, ¿cómo afecta su independencia lineal a B?

Ben Dyer

@Adithya

B

$B$ depende mucho de

A

$A$ y

C

$C$ . Puede reformular la pregunta de esta manera: supongamos que tiene

A

$A$ y

C

$C$ , y desea encontrar un tercer vector

B

$B$ tal que la relación

(A \times B) \times C = A \times (B \times C)

$(A\times B)\times C = A\times(B\times C)$ sostiene Naturalmente, la solución depende de

A

$A$ y

C

$C$ (excepto en el escenario degenerado donde

A

$A$ y

C

$C$ son paralelos, y la ecuación completa es cero para cualquier

B

$B$ )

Encontrar las condiciones para A×(B×C)=(A×B)×CA×(B×C)=(A×B)×C\mathbf{A}×(\mathbf{B}×\mathbf{C }) = (\mathbf{A}×\mathbf{B})×\mathbf{C}.

Rayo

Respuestas (2)

egreg

Ben Dyer

Rayo

Ben Dyer

Encontrar PPP conociendo PQ−→−×b→PQ→×b→\overrightarrow{PQ}×\overrightarrow{b}, PQ−→−⋅c→PQ→⋅c→\overrightarrow{PQ}⋅\overrightarrow{c} , b→b→\overrightarrow{b}, y c→c→\overrightarrow{c}

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