Encontrar la velocidad promedio de un cuerpo que viaja entre dos puntos [duplicar]

No puedes simplemente tomar el promedio de$40$y$60$porque el cuerpo tarda más en ir de A a B que en regresar de B a A. Solo puedes usar el promedio de las velocidades si el tiempo empleado en cada velocidad es el mismo.

Supongamos que A es$240$metros de B. Entonces el tiempo necesario para ir de A a B es$6$segundos y el tiempo que tarda en volver de B a A es$4$segundos. Así que el cuerpo ha recorrido una distancia total de$2 \times 240 = 480$metros en un tiempo total de$10$segundos. entonces su rapidez media es...

Si el cuerpo viajó a$40$m/s durante 6 segundos y luego a$60$m/s durante 6 segundos, entonces habría viajado$600$metros en$12$segundos y su velocidad media sería$50$EM. Pero ahora no ha recorrido distancias iguales en esos dos períodos de tiempo.

Tienes que pensar en lo que estás agregando/promediando. En general, encontrará que el proceso puede ser lineal, geométrico o armónico. Las tasas suelen ser lineales, por lo que si un núcleo puede decaer de 2 maneras, digamos 40 Bq a "A" y 60 Bq a "B", la tasa de descomposición total es solo la suma lineal:

$$\omega_{tot} = \omega_A + \omega_B = 40{\,\rm Bq} + 60{\,\rm Bq}= 100{\,\rm Bq}$$

Ahora puedo reescribir la tasa,$\omega$, como un inverso del tiempo de decaimiento ($\tau$):

$$\frac 1 {\tau_{tot}} = \frac 1 {\tau_A} + \frac 1 {\tau_B} = 40{\,\rm Bq} + 60{\,\rm Bq}= 100{\,\rm Bq}$$

Entonces, si hubiera formulado la pregunta en términos de tiempo: "El estado decae a A cada 25 ms y al estado B cada$16\frac 2 3$ms, ¿cuál es el tiempo promedio para cualquier decaimiento?" , sumarías los tiempos armónicamente:

$$\tau_{tot} = \frac{1}{{\frac 1 {\tau_A} + \frac 1 {\tau_B}}}=\frac{\tau_A\tau_B}{\tau_A+\tau_B}= \frac{0.000416\ldots\,{\rm s^2}}{0.0416\ldots\,{\rm s}}=0.01\,{\rm s}$$

Esto surge en los circuitos elementales, donde las resistencias en serie y los capacitores en paralelo se suman linealmente (lo cual es claro a partir de su construcción física), mientras que las resistencias en paralelo y los capacitores en serie se suman armónicamente.

Entonces, ¿qué es la velocidad? Bueno, por lo general se denomina tasa de cambio de posición y, a veces, se usa de manera redundante en "... viajar a una tasa alta de velocidad" en los informes de accidentes, por lo que uno puede pensar que es una tasa y debe agregarse linealmente . El problema son las unidades que usamos, y el hecho de que es una tasa de distancia, no de tiempo.

Si el problema se hubiera planteado como un tiempo requerido para cubrir una distancia fija:

"Un objeto viaja de A a B, recorriendo un metro de$t_{AB}=\frac 1 {40}^{\rm th}$de segundo, y B a A en$t_{BA}=\frac 1 {60}^{\rm th}$de un segundo, ¿cuál es el tiempo promedio requerido para recorrer 1 metro?"

podríamos promediar linealmente:

$$t_{av} = \frac 1 2 (t_{AB}+t_{BA}) = \frac 1 2 \left(\frac 1{40}{\,\rm s/m}+\frac 1{60}{\,\rm s/m}\right) =\frac 1 {48}{\,\rm s/m}$$

pero no es así como comúnmente se habla de la velocidad. Más bien, hablamos de la distancia recorrida en un tiempo fijo, y las velocidades deben promediarse armónicamente:

$$\frac 1 {v_{av}} = \frac 1 2\left(\frac 1{v_{AB}} + \frac 1{v_{BA}}\right)=\frac 1 2 \left(\frac 1{40{\,\rm m/s}}+\frac 1{60{\,\rm m/s}}\right)=\frac 1 {48{\,\rm m/s}}$$