∃f:C∖D→C∃f:C∖D→C \exists f:\mathbb C \setminus D \to \mathbb C está acotado uno-uno holomorfo, ¿cómo?

Question

∃f:C∖D→C∃f:C∖D→C \exists f:\mathbb C \setminus D \to \mathbb C está acotado uno-uno holomorfo, ¿cómo?

análisis
Matemáticas
análisis complejo

Inquisitivo

Observamos que no puede existir un mapa holomorfo uno a uno acotado $f:\mathbb C \setminus \{0\} \to \mathbb C.$

Poner $D=\{z\in \mathbb C: |z|\leq1\}$ (disco cerrado).

Mi pregunta : ¿Cómo mostrar que existe? $f:\mathbb C \setminus D \to \mathbb C$ que está acotado uno a uno holomorfo?

(Supongo que el teorema de mapeo de Riemann puede ser útil, pero no sé cómo (aquí mi dominio no está simplemente conectado y RMT es cierto para un dominio simplemente conectado), y no puedo pensar en ningún otro teorema de análisis complejo que garantice uno -uno y acotación)

Nota ver la pregunta relacionada aquí

usuario4422

Qué pasa

z \mapsto \frac{1}{z}

$z \mapsto \frac{1}{z}$

Inquisitivo

@gracias; Lo tengo;

Inquisitivo

@ user4422: pero ¿qué pasará si se reemplaza?

D

$D$ por cerrado conectado y tiene más de un elemento,

usuario4422

Si tiene un interior no vacío, puede usar el mismo argumento.

Inquisitivo

@usuario4422; lo siento, no pude seguirte; ¿Podría explicarme un poco más? Básicamente, estoy preguntando esto ; gracias

usuario4422

Es muy sencillo. Llevar

ϕ

$\phi$ un mapa de similitud directa que envía una bola abierta dentro de algún subconjunto

A

$A$ a

D

$D$ . (La existencia de tal mapa es trivial). Entonces,

\frac{1}{ϕ}

$\frac{1}{\phi}$ es el mapa que estás buscando.

Respuestas (1)

∃f:C∖D→C∃f:C∖D→C \exists f:\mathbb C \setminus D \to \mathbb C está acotado uno-uno holomorfo, ¿cómo?

@ user4422: pero ¿qué pasará si se reemplaza? $D$ por cerrado conectado y tiene más de un elemento,
Si tiene un interior no vacío, puede usar el mismo argumento.
@usuario4422; lo siento, no pude seguirte; ¿Podría explicarme un poco más? Básicamente, estoy preguntando esto ; gracias
Es muy sencillo. Llevar $\phi$ un mapa de similitud directa que envía una bola abierta dentro de algún subconjunto $A$ a $D$ . (La existencia de tal mapa es trivial). Entonces, $\frac{1}{\phi}$ es el mapa que estás buscando.

roberto israel · Answer 1

roberto israel

Sugerencia: no se necesitan teoremas elaborados cuando hay un ejemplo explícito muy simple.

Inquisitivo

gracias; Oh, creo,

f (z) = \frac{1}{z}

$f(z)=\frac{1}{z}$ trabajará. Pero, ¿qué pasará si reemplazamos

D

$D$ por conectado cerrado que tiene más de un elemento. gracias

∃f:C∖D→C∃f:C∖D→C \exists f:\mathbb C \setminus D \to \mathbb C está acotado uno-uno holomorfo, ¿cómo?

Inquisitivo

usuario4422

Inquisitivo

Inquisitivo

usuario4422

Inquisitivo

usuario4422

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roberto israel

Inquisitivo

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