Teorema fundamental del álgebra: ¿una prueba de análisis complejo elemental?

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Teorema fundamental del álgebra: ¿una prueba de análisis complejo elemental?

análisis
Matemáticas
análisis complejo
prueba alternativa
integración compleja

hulkster

Comenzamos suponiendo que un polinomio complejo no constante

pag (z) = a_{norte} z^{norte} + a_{norte - 1} z^{norte - 1} + . . . + a_{1} z + a_{0},

$p(z)=a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1 z+a_0,$ dónde

a_{0} \neq 0

$a_0 \neq 0$ , no desaparece en

C

$\mathbb{C}$ . Por lo tanto

1 / p

$1/p$ es también una función analítica en todas partes. Tenga en cuenta que

(p (z) - a_{0}) / z

$(p(z)-a_0)/z$ es un polinomio y por lo tanto, debido al teorema de Cauchy, la siguiente integral debe ser cero.

\int_{S_{r}^{1}} \frac{(pag (z) - a_{0}) / z}{pag (z)} d z = \int_{S_{r}^{1}} \frac{a_{norte} z^{norte - 1} + a_{norte - 1} z^{norte - 2} + . . . + a_{1}}{a_{norte} z^{norte} + a_{norte - 1} z^{norte - 1} + . . . + a_{1} z + a_{0}} d z = 0.

$\int_{S_r^1}\frac{(p(z)-a_0)/z}{p(z)}dz=\int_{S_r^1}\frac{a_nz^{n-1}+a_{n-1}z^{n-2}+...+a_1}{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1 z+a_0}dz=0.$

Por otro lado

\int_{S_{r}^{1}} \frac{a_{norte} z^{norte - 1} + a_{norte - 1} z^{norte - 2} + . . . + a_{1}}{a_{norte} z^{norte} + a_{norte - 1} z^{norte - 1} + . . . + a_{1} z + a_{0}} d z

$\int_{S_r^1}\frac{a_nz^{n-1}+a_{n-1}z^{n-2}+...+a_1}{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1 z+a_0}dz$

= \int_{0}^{2 π} \frac{a_{norte} (r {mi}^{i θ})^{norte - 1} + a_{norte - 1} (r {mi}^{i θ})^{norte - 2} + . . . + a_{1}}{a_{norte} (r {mi}^{θ})^{norte} + a_{norte - 1} (r {mi}^{i θ})^{norte - 1} + . . . + a_{1} (r {mi}^{i θ}) + a_{0}} (i r {mi}^{i θ}) d θ

$=\int_{0}^{2\pi}\frac{a_n(re^{i\theta})^{n-1}+a_{n-1}(re^{i\theta})^{n-2}+...+a_1}{a_n(re^{\theta})^n+a_{n-1}(re^{i\theta})^{n-1}+...+a_1 (re^{i\theta})+a_0}(ire^{i\theta})d\theta$

= \int_{0}^{2 π} i d θ - \int_{0}^{2 π} \frac{a_{0} i}{a_{norte} (r {mi}^{i θ})^{norte} + a_{norte - 1} (r {mi}^{i θ})^{norte - 1} + . . . + a_{1} (r {mi}^{i θ}) + a_{0}} d θ

$=\int_{0}^{2\pi}i d\theta - \int_{0}^{2\pi}\frac{a_0 i}{a_n(re^{i\theta})^n+a_{n-1}(re^{i\theta})^{n-1}+...+a_1 (re^{i\theta})+a_0}d\theta$

= 2 π i - \int_{0}^{2 π} \frac{a_{0} i}{pag (r {mi}^{i θ})} d θ .

$=2\pi i -\int_{0}^{2\pi}\frac{a_0i}{p(re^{i\theta})}d\theta.$

Dejar $r \rightarrow \infty$ y el valor de los enfoques integrales $2\pi i$ - una contradicción. Por lo tanto $1/p$ no puede ser completo y $p$ debe desaparecer en algún lugar del plano complejo.

EDITAR: Cambié esta publicación y eliminé la idea de que la integral $\int_{\partial D_r}\frac{(p(z)-a_0)/z}{p(z)}dz=0$ podría evaluarse con el teorema fundamental del cálculo. Ahora bien, tal como está, esta prueba es esencialmente la misma que señala el señor José Carlos Santos en su comentario.

Pauca inteligente

Su

f (z)

$f(z)$ es holomorfo en

D_{r}

$D_r$ , por lo tanto, sus igualdades se mantienen. Pero no veo la relación con el teorema fundamental del cálculo.

hulkster

@Aretino Efectivamente. Pero quiero evitar el teorema o fórmula de Cauchy. Si podemos encontrar esa primitiva entonces, por el teorema fundamental del cálculo, esa integral se desvanece.

jose carlos santos

@Hulkster Mi artículo El teorema fundamental del álgebra deducido del cálculo elemental (The Mathematical Gazette 91 , edición 521, 2007, págs. 302–303) contiene una prueba del teorema fundamental del álgebra que usa solo el teorema fundamental del cálculo y el Leibniz regla _

hulkster

@JoséCarlosSantos Sí, conozco tu artículo. Pero me pregunto si podemos encontrar una primitiva para eso.

f (z)

$f(z)$ .

jose carlos santos

@Hulkster ¿Evitar el teorema o la fórmula de Cauchy? Dudo que.

gerry myerson

Más formas de probar el TLC de las que puede imaginar, en mathoverflow.net/questions/10535/… – tal vez una de ellas lo haga feliz.

hulkster

@GerryMyerson ¡Gracias! Mi prueba es la misma que la segunda en mathoverflow.net/q/10608

hulkster

@JoséCarlosSantos Sí. Se debe usar el teorema de Cauchy.

Respuestas (1)

Teorema fundamental del álgebra: ¿una prueba de análisis complejo elemental?

Su $f(z)$ es holomorfo en $D_r$ , por lo tanto, sus igualdades se mantienen. Pero no veo la relación con el teorema fundamental del cálculo.
@Aretino Efectivamente. Pero quiero evitar el teorema o fórmula de Cauchy. Si podemos encontrar esa primitiva entonces, por el teorema fundamental del cálculo, esa integral se desvanece.
@Hulkster Mi artículo El teorema fundamental del álgebra deducido del cálculo elemental (The Mathematical Gazette 91 , edición 521, 2007, págs. 302–303) contiene una prueba del teorema fundamental del álgebra que usa solo el teorema fundamental del cálculo y el Leibniz regla _
@JoséCarlosSantos Sí, conozco tu artículo. Pero me pregunto si podemos encontrar una primitiva para eso. $f(z)$ .
@Hulkster ¿Evitar el teorema o la fórmula de Cauchy? Dudo que.
Más formas de probar el TLC de las que puede imaginar, en mathoverflow.net/questions/10535/… – tal vez una de ellas lo haga feliz.
@GerryMyerson ¡Gracias! Mi prueba es la misma que la segunda en mathoverflow.net/q/10608

Jack D´Aurizio · Answer 1

Eche un vistazo a las páginas 120-125 de mis notas del curso .
Si por Teorema Fundamental del Cálculo te refieres al Teorema del residuo / la fórmula integral de Cauchy (que puede verse como una consecuencia del Teorema de Stokes, es decir, una versión generalizada del Teorema Fundamental del Cálculo), la respuesta es sí .

Asumir que $p(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots+a_0\in\mathbb{C}[z]$ cumple $n\geq 1$ , $a_0\neq 0$ y no tiene raíces complejas. En cuyo caso $f(z)\stackrel{\text{def}}{=}\frac{1}{z\cdot p(z)}$ es una función meromórfica con una singularidad única, que es el polo simple en el origen. Por el Teorema del residuo, para cualquier $R>0$ tenemos

\begin{matrix} (1) & \oint_{| z | = R} \frac{d z}{z \cdot pag (z)} = \frac{2 π i}{pag (0)} \neq 0 \end{matrix}

$\oint_{|z|=R}\frac{dz}{z\cdot p(z)} = \frac{2\pi i}{p(0)} \neq 0 \tag{1}$ pero desde

| p (z) | \to + \infty

$|p(z)|\to +\infty$ como

| z | \to + \infty

$|z|\to +\infty$ , el LHS de

(1)

$(1)$ es arbitrariamente cercano a cero por la desigualdad del triángulo. Esta contradicción prueba que cualquier polinomio no constante en

C [z]

$\mathbb{C}[z]$ tiene al menos un cero complejo.

La prueba original de Gauss estuvo cerca de probar el Teorema Fundamental del Álgebra usando solo instrumentos reales, pero en algún punto uno tiene que invocar algo más o menos equivalente a $\pi^1(S^1)=\mathbb{Z}$ o al teorema de la curva de Jordan , ya que los resultados reales por sí solos no son lo suficientemente poderosos para probar algo acerca de $\mathbb{C}\simeq \mathbb{R}^2$ . Eche un vistazo a este hilo MO , también.

Vale la pena mencionar una versión equivalente del Teorema Fundamental del Álgebra: al asociar un polinomio con su matriz compañera, obtenemos que para probar el FTA es suficiente demostrar que

Cualquiera (WLOG, no singular) $n\times n$ matriz con entradas complejas tiene un vector propio.

Para tal propósito, se puede invocar la iteración de potencia .

¡Gracias por responder! Lo que quiero hacer es encontrar una prueba con métodos integrales complejos muy elementales, es decir, que no se trate de si una función es holomorfa.
@Hulkster: ¿cómo planea demostrar que un polinomio no constante con coeficientes complejos siempre tiene una raíz compleja usando solo instrumentos reales? La prueba original de Gauss estuvo cerca de lograr eso, pero en algún momento tienes que usar algo más o menos equivalente a $\pi^1(S^1)=\mathbb{Z}$ o al teorema de la curva de Jordan, ya que los resultados reales por sí solos no son lo suficientemente poderosos para probar algo acerca de $\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^{\color{red}{2}}$ solo.
Puedes ver que estoy usando teoría compleja. Si hay una manera de encontrar primitivas para $f(z)$ la prueba es sencilla. Seguramente $f(z)$ es holomorfo pero no quiero usar el teorema de Cauchy. Tal vez esa integral sea imposible (sin FTA que aquí estamos probando).
¡Está claro que no puede haber primitivo ya que debido a la suposición y al teorema de Cauchy de que la integral debe ser cero! De todos modos, ahora sé cuál es la prueba más directa de FTA en análisis complejo :)

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jose carlos santos

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gerry myerson

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