Encontrar la forma cerrada de una sucesión recursiva

Question

Encontrar la forma cerrada de una sucesión recursiva

recursión
forma cerrada
Matemáticas
secuencias y series

XuUsuarioAC

Busco principalmente palabras clave, para buscar y estudiar ejemplos y técnicas sobre cómo uno va a encontrar la expresión de forma cerrada en una secuencia recursiva.

Tengo un problema que resolver, que parece

a_{norte + 1} = \frac{metro a_{norte} + X}{a_{norte} + y}

${ a_{n+1} = \frac{ma_n + x}{a_n + y} }$

(No estoy escribiendo los valores exactos, porque no estoy buscando una solución, solo orientación).

He visto una solución aquí , que es increíble, pero no entiendo cómo se piensa al respecto.

Estudiante de nivel A

Un método común para encontrar expresiones de forma cerrada para relaciones de recurrencia es utilizar la sustitución para trabajar con una relación de recurrencia más sencilla. Sin embargo, no estoy seguro de cómo aplicarlo a un caso general,

Xin Yuan Li

También puede echar un vistazo a las funciones generadoras homogéneas y no homogéneas. El texto estándar es Generatingfunctionology de Wilf, aunque podría ser un poco avanzado.

Iván Neretín

Encuentre los valores propios de la matriz

(\begin{matrix} m & x \\ 1 & y \end{matrix})

$\begin{pmatrix}m& x \\ 1 & y\end{pmatrix}$ , entonces tendrás tu formulario cerrado.

Respuestas (1)

Encontrar la forma cerrada de una sucesión recursiva

Un método común para encontrar expresiones de forma cerrada para relaciones de recurrencia es utilizar la sustitución para trabajar con una relación de recurrencia más sencilla. Sin embargo, no estoy seguro de cómo aplicarlo a un caso general,
También puede echar un vistazo a las funciones generadoras homogéneas y no homogéneas. El texto estándar es Generatingfunctionology de Wilf, aunque podría ser un poco avanzado.
Encuentre los valores propios de la matriz $\begin{pmatrix}m& x \\ 1 & y\end{pmatrix}$ , entonces tendrás tu formulario cerrado.

Claudio Leibovici · Answer 1

Esta es una ecuación en diferencias racionales de primer orden (echa un vistazo aquí ).

a_{norte + 1} = \frac{metro a_{norte} + X}{a_{norte} + y} = metro + \frac{X - metro y}{a_{norte} + y}

${ a_{n+1} = \frac{ma_n + x}{a_n + y} }=m+\frac{x-m y}{a_n+y}$ Dejar

b_{n} = a_{n} - m

$b_n=a_n-m$ para hacer

\frac{metro y - X}{b_{norte} + metro + y} + b_{norte + 1} = 0

$\frac{m y-x}{b_n+m+y}+b_{n+1}=0$ Dejar

c_{n} = b_{n} + m + y

$c_n=b_n+m+y$ para hacer

\frac{metro y - X}{C_{norte}} + C_{norte + 1} = metro + y

$\frac{m y-x}{c_n}+c_{n+1}=m+y$ Dejar

p = m y - x

$p=m y-x$ y

q = m + y

$q=m+y$ para hacer

\frac{pag}{C_{norte}} + C_{norte + 1} = q

$\frac{p}{c_n}+c_{n+1}=q$

Si sigue los pasos dados en la página vinculada, debería obtener comentarios como

C_{norte} = \frac{A_{norte}}{B_{norte}}

$c_n=\frac{A_n}{B_n}$ con

A_{norte} = k (q^{2} - 2 pag) {(\frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} - q}{pag})}^{norte} - k q \sqrt{q^{2} - 4 pag} {(\frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} - q}{pag})}^{norte} + (q^{2} - 2 pag) {(- \frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} + q}{pag})}^{norte} + q \sqrt{q^{2} - 4 pag} {(- \frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} + q}{pag})}^{norte}

$A_n=K \left(q^2-2 p\right) \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n-K q \sqrt{q^2-4 p} \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n+\left(q^2-2 p\right) \left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n+q \sqrt{q^2-4 p} \left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n$ y

B_{norte} = \sqrt{q^{2} - 4 pag} ({(- \frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} + q}{pag})}^{norte} - k {(\frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} - q}{pag})}^{norte}) + q (k {(\frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} - q}{pag})}^{norte} + {(- \frac{\sqrt{q^{2} - 4 pag} + q}{pag})}^{norte})

$B_n=\sqrt{q^2-4 p} \left(\left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n-K \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n\right)+q \left(K \left(\frac{\sqrt{q^2-4 p}-q}{p}\right)^n+\left(-\frac{\sqrt{q^2-4 p}+q}{p}\right)^n\right)$

Encontrar la forma cerrada de una sucesión recursiva

XuUsuarioAC

Estudiante de nivel A

Xin Yuan Li

Iván Neretín

Respuestas (1)

Claudio Leibovici

XuUsuarioAC

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