Forma cerrada de una suma dilogarítmica alterna "armónica"

$$\sum_{n\geq 2}(-1)^n \,\text{Li}_2\!\left(\frac{2}{n}\right)=\sum_{n\geq 2}(-1)^n \sum_{m\geq 1}\frac{2^m}{n^m m^2}=\sum_{m\geq 1}\frac{2^m(\eta(m)-1)}{m^2}\\=\sum_{m\geq 1}\frac{2^m(\zeta(m)-1)-2\zeta(m)}{m^2}\\=\sum_{m\geq 2}\frac{(2^m-2)(\zeta(m)-1)}{m^2}+\frac{\pi^2}{3}-2$$ y: $$\sum_{m\geq 2}\frac{\zeta(m)-1}{m}\,x^m = (1-\gamma)x+\log\Gamma(-x)$$ proviene del producto Weierstrass para el $\Gamma$función. La última función tiene una integral elemental sobre cualquier intervalo de la forma $(a,a+1)$por el teorema de Raabe , pero eso no se cumple si multiplicamos dicha función por $\frac{1}{x}$, por lo que es poco probable que su serie tenga una buena forma cerrada.