Fuente: Teoría del campo cuántico para el aficionado superdotado por Tom Lancaster, Stephen J. Blundell.

Estoy luchando por entender el paso lógico desde el esquema de la 'prueba' en la nota al pie, hasta el hecho de que la densidad de probabilidad debe parecerse a la ec. 6.12. ¿Alguien puede proporcionar un texto complementario que explique esto más claramente? Además, también encuentro la derivación de mi fuente secundaria en un nivel superior a mí.

6.2 Corrientes de probabilidad y densidades

Una de las razones por las que Schrödinger no estaba contento con la ecuación de Klein-Gordon después de haberla derivado era que algo desagradable sucede cuando piensas en el flujo de la densidad de probabilidad. La probabilidad de que una partícula se encuentre en algún lugar depende de$\phi^{*}(x)\phi(x)$y si esta cantidad depende del tiempo, entonces las partículas deben estar chapoteando. La densidad de probabilidad$\rho$y densidad de corriente de probabilidad ⁵ $\boldsymbol{j}$obedecer una ecuación de continuidad

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm d\rho}{\mathrm dt}+\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{j}=0, \tag{6.9}\label{6.9} \end{equation}$$ que se escribe más fácilmente en notación de cuatro vectores como $$\begin{equation} \partial_{\mu}j^{\mu}=0. \tag{6.10}\label{6.10} \end{equation}$$ Si, como es habitual en la mecánica cuántica no relativista, ⁶ tomamos la parte espacial como $$\begin{equation} \boldsymbol{j}(x)=-\mathrm i\left[\phi^{*}(x)\boldsymbol{\nabla}\phi(x)-\phi(x)\boldsymbol{\nabla}\phi^{*}(x)\right], \tag{6.11}\label{6.11} \end{equation}$$ entonces, para que la ecuación 6.10 funcione, ⁷ requerimos que la densidad de probabilidad se vea como ⁸ $$\begin{equation} \rho(x)\boldsymbol{=}\mathrm i\left[\phi^{*}(x)\dfrac{\partial\phi(x)}{\partial t}\boldsymbol{-}\dfrac{\partial\phi^{*}(x)}{\partial t}\phi(x)\right]. \tag{6.12}\label{6.12} \end{equation}$$ La corriente de probabilidad covariante resultante para la ecuación de Klein-Gordon viene dada por $$\begin{equation} j^{\mu}(x)=\mathrm i\{\phi^{*}(x)\partial^{\mu}\phi(x)-\left[\partial^{\mu}\phi^{*}(x)\right]\phi(x)\}, \tag{6.13}\label{6.13} \end{equation}$$ que, como sugiere la notación, es un cuatro vector. Sustituyendo en nuestro [...]

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^{$^7$Funcionará, y puedes probarlo de la siguiente manera. Tome la ecuación de Klein-Gordon (ecuación 6.5) y premultiplíquela por$\phi^{*}(x)$. Luego tome el complejo conjugado de la ecuación 6.5 y premultiplíquelo por$\phi(x)$. Restar estos dos resultados dará una ecuación de la forma de la ecuación 6.9 con$\boldsymbol{j}$y$\rho$como se indica.}

Fuente Secundaria: Teoría Cuántica de Campos de Lewis H. Ryder.

... donde el Schr$\ddot{\rm o}$Se ha utilizado la ecuación de Dinger y su complejo conjugado. ¿Cuáles son las expresiones correspondientes para la ecuación de Klein-Gordon? Para ser propiamente relativista,$\rho$no debería, como en (2.18), transformarse como un escalar, sino como la componente temporal de un cuadrivector, cuya componente espacial es$\mathbf{j}$, dada por (2.19). Entonces$\rho$es dado por

$$\begin{equation} \rho(x)=\dfrac{\mathrm i \hbar}{2m}\left(\phi^{*}\dfrac{\partial\phi}{\partial t}-\phi\dfrac{\partial\phi^{*}}{\partial t}\right) \tag{2.20}\label{2.20} \end{equation}$$ y con $$\begin{equation} j^{\mu}=\left(\rho,\mathbf{j}\right)=\dfrac{\mathrm i \hbar}{m}\phi^{*}\left(\overset{\leftrightarrow}{\partial_{0}},\overset{\leftrightarrow}{\boldsymbol{\nabla}}\right)\phi =\dfrac{\mathrm i \hbar}{m}\phi^{*}\overset{\leftrightarrow}{\partial^{\mu}}\,\phi \tag{2.21}\label{2.21} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} A\overset{\leftrightarrow}{\partial^{\mu}}B\stackrel{\text{def}}{=}\tfrac12\left[A\partial^{\mu}B\boldsymbol{-}(\partial^{\mu}A)B\right], \tag{2.22}\label{2.221} \end{equation}$$ y hemos usado (2.9), tenemos la ecuación de continuidad $$\begin{equation} \partial_{\mu}j^{\mu}=\dfrac{\mathrm i \hbar}{2m}\left(\phi^{*}\square \,\phi-\phi\,\square\,\phi^{*}\right)=0, \tag{2.23}\label{2.3} \end{equation}$$ desde$\phi^{*}$también obedece a la ecuación de Klein-Gordon. Entonces$\rho$y$\mathbf{j}$son la densidad de probabilidad y la corriente que queremos. Pero esto presenta inmediatamente un problema, porque$\rho$, dada por la ecuación (2.20), a diferencia de la expresión (2.18) para el...