¿Con qué precisión se deriva la ecuación de Klein-Gordon?

En Mecánica Cuántica, la ecuación de Schrödinger es simplemente la afirmación de que la energía es el generador de la evolución del tiempo . En el marco de QM esto se escribe como

Ahora, si tenemos la representación de posición$\mathbf{r}$podemos formar la función de onda$\Psi(\mathbf{r},t)=\langle \mathbf{r}|\psi(t)\rangle$y esto se convierte

La ecuación de Schrödinger usual se encuentra cuando reemplazamos$H$por el hamiltoniano clásico cuantizado :

La pregunta es que la ecuación que obtienes para$\Psi(\mathbf{r},t)$no es invariante de Lorentz. Y, de hecho, usamos la energía no relativista cuando cuantificamos.

Ahora, la forma canónica de hacerlo es intentar cuantificar la versión relativista

en unidades donde$c=1$. Para cuantificar esto insistimos en que la energía es la generadora de las traducciones del tiempo. Esto sugiere que$E\mapsto i\hbar \partial_t$mientras insistimos en que$p$es el generador de traslaciones espaciales para que$p\mapsto -i\hbar \nabla$. Esto lleva a

o también eligiendo unidades donde$\hbar =1$

Aquí,$\Psi$es una función de onda, por lo tanto$\Psi:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}\to \mathbb{C}$y por lo tanto, a pesar de esta extraña terminología,$\Psi$es un campo clásico .

Entonces para$(1)$, acabamos de cuantificar la relación energía-momento, exigiendo que la misma relación se mantenga en la versión cuántica e imponiendo que la energía es el generador de las traslaciones temporales y el impulso el generador de las traslaciones espaciales.

Ahora para$(2)$, Klein-Gordon es una ecuación de función de onda. Simplemente está reescribiendo la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano particular. Del mismo modo, es un campo clásico. Es un campo clásico porque no tiene valor de operador . Un campo cuántico es un campo valorado por un operador. Ahora, hablar de convertirlo en un campo cuántico, es decir, tratar con la cuantización de este campo es otra historia.

El punto de partida es la teoría de la representación del grupo de Poincaré (o en realidad la teoría de la representación inducida, y en particular el método de los pequeños grupos de Wigner).

Para una partícula masiva de espín cero y masa$m$, el espectro del operador de cantidad de movimiento es el hiperboloide$p^2 = m^2$, con la condición de energía$p^0 > 0$, a veces denotado por$\Omega_m^+$. Una de las ventajas de esta descripción es que se obtiene una medida invariante genuina en lugar de una cuasi-invariante , en$\Omega_m^+$, dada por

Estrictamente hablando, la ecuación de Klein-Gordon no es una versión relativista de la ecuación de Schrödinger. La ecuación estacionaria de Klein-Gordon se obtiene reemplazando el pulso relativista con el operador de momento$p_{relativistic} \mapsto -i\hbar\triangledown$en la expresión para el acoplamiento de la energía y el momento del STR. La ecuación de Klein-Gordon tiene muchos inconvenientes. Por ejemplo, el valor erróneo de la carga crítica del núcleo es Z = 68. Si actuamos de otra forma y en la expresión para la conexión de la energía y el momento de la SRT, reemplazamos el pulso habitual por el operador de momento$p_{Nonrelativistic} \mapsto -i\hbar\triangledown$, entonces obtenemos una ecuación M2 completamente diferente. La ecuación M2 no tiene estos inconvenientes. Se pueden encontrar más detalles sobre la derivación de la ecuación M2 en la publicación: http://vixra.org/abs/1609.0086