¿Por qué es V=(1/2)m2ϕ2V=(1/2)m2ϕ2V=(1/2) m^2 \phi^2 para un campo escalar libre relativista de masa mmm?

Por qué$m^2$delante de$\phi^2$y porque es$m$¿la masa?

En primer lugar, desde el análisis dimensional el prefactor hasta el$\phi^2$término en el lagrangiano debe tener dimensión de masa$^1$ $2$en$3+1$dimensiones ya que el Lagrangiano tiene dimensión de masa$4$y$\phi$tiene dimensión de masa$1$. Esto solo nos dice que podemos escribir el término como$m^2\phi^2$dónde$m$es alguna escala de masa, pero no da la relación de la masa de la partícula.

Para obtener esta conexión, recuerde las relaciones entre operadores de la mecánica cuántica $E = i\frac{\partial}{\partial t}$y$\vec{p} = -i\nabla$, y la relación energía-momento relativista de partículas libres

$$E^2 = \vec{p}^2 + m^2$$

Si el campo escalar libre debe estar de acuerdo con la relatividad, esta relación de operadores debe cumplirse cuando se actúa sobre$\phi$. esto nos da

$$-\frac{\partial^2}{\partial t^2}\phi = -\nabla^2\phi + m^2\phi = 0 \implies \square \phi + m^2\phi = 0$$

que es exactamente la ecuación de movimiento para un campo escalar canónico con potencial$V = \frac{1}{2}m^2\phi^2$.

Otra razón por la cual$m$es la masa se puede encontrar mirando la ecuación relativista de Dirac

$$(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi = 0$$

Multiplicando la ecuación anterior por$(i\gamma^\mu\partial_\mu + m)$se convierte en

$$\square \psi + m^2\psi = 0$$

así el espinor de Dirac$\psi$satisfacer la misma ecuación que para un campo escalar libre con potencial$V = \frac{1}{2}m^2\psi^2$.

Por qué$\phi^2$y no algo mas complicado?

Podemos tener potenciales más complicados, pero no conduciría a un campo escalar libre. Para un campo escalar libre, la ecuación de movimiento debe ser lineal ya que, de lo contrario, el campo completo ya no es la superposición de excitaciones individuales y, en consecuencia, el campo interactuará consigo mismo. Esto restringe el potencial de estar en el formulario$V = V_0 + \mu^3\phi + \frac{1}{2}m^2\phi^2$. El$V_0$El término no cambia la ecuación de movimiento y solo es importante cosmológicamente y allí es indistinguible de una constante cosmológica. El$\mu^3$el término se puede eliminar realizando una redefinición de campo$\phi \to \phi - \frac{\mu^3}{m^2}$. Así podemos sin pérdida de generalidad tomar$\mu = 0$a menos que$m^2 = 0$. Sin embargo, si$m^2=0$entonces el campo será sin masa. Por lo tanto, el potencial de campo escalar más general de una partícula escalar libre y masiva es$\frac{1}{2}m^2\phi^2$.

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$^1$: estoy usando unidades de Planck$\hbar=c=1$en esta respuesta para que sea fácil para mí