Soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein donde Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

Question

Soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein donde Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

Física
curvatura
tiempo espacial
tensor-métrico
relatividad general
tensión-energía-momentum-tensor

mihirb

Mi nivel/antecedentes:

Acabo de terminar mi primer año de licenciatura. En la escuela secundaria, completé AP Física C Mecánica y Electricidad y Magnetismo. En mi primer año de licenciatura, completé un curso sobre Mecánica Newtoniana y un curso sobre Relatividad Especial y Electromagnetismo, ambos aproximadamente similares a las secciones sobre esos temas en las Conferencias Feynman sobre Física.

La pregunta

Estoy empezando a sumergirme en el análisis tensorial y la relatividad general en mi tiempo libre y tengo cierta confusión sobre la ecuación de campo de Einstein.

La ecuación de campo de Einstein (sin constante cosmológica) establece que $G_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$ dónde $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ es el tensor de curvatura de Einstein.

En la mayoría de las explicaciones de la ciencia pop de GR, dicen que la materia y la energía (o su densidad y flujo, supongo), que están representadas por $T_{\mu\nu}$ , hacen que el espaciotiempo se curve, lo que supongo que está representado por el tensor de curvatura $G_{\mu\nu}$ . Luego, los objetos se mueven a lo largo del camino más corto del tiempo adecuado (geodésico) en este espacio-tiempo distorsionado.

A menudo hacen esto dando la imagen bastante engañosa de colocar una gran masa en un trampolín, donde la tela del trampolín es el espacio-tiempo, y mostrando cómo la gran masa hace que la tela se doble y cómo esto afecta el movimiento de los objetos más pequeños que se lanzan sobre ella. El trampolín.

En el caso de un planeta esférico que no gira, asumo $T_{\mu\nu}$ es $0$ en todas partes excepto donde está el planeta. Entonces eso significa $G_{\mu\nu} = 0$ en todas partes no dentro del planeta.

Mi pregunta es, ¿eso significa que no hay curvatura fuera del planeta (o la curvatura de Einstein es diferente a la curvatura normal)? Dado que esto parece implicar que no habría curvatura en el espacio-tiempo fuera del planeta, lo cual es claramente incorrecto ya que los objetos orbitan alrededor del Sol.

O el valor de $T_{\mu\nu}$ dentro del planeta (donde es distinto de cero) afecta la curvatura del espacio-tiempo fuera del planeta (donde es cero) en un gran radio a su alrededor?

En resumen, ¿cuál es la mejor manera de pensar acerca de cómo la masa y la energía afectan la curvatura del espacio-tiempo a su alrededor?

PhysMath

extraña flexión de caltech pero está bien

Respuestas (2)

Soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein donde Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

Profesor Legolasov · Answer 1

Hay cuatro tensores de curvatura diferentes en juego aquí. La información completa sobre la curvatura se codifica en el tensor de Riemann $R^{\sigma}_{\;\mu \tau \nu}$ , y los otros tres tensores se derivan todos de él.

El tensor de Ricci es una contracción

R_{m v} = R_{m σ v}^{σ} = {gramo}^{σ τ} R_{σ m τ v} .

$R_{\mu \nu} = R^{\sigma}_{\;\mu \sigma \nu} = g^{\sigma \tau} R_{\sigma \mu \tau \nu}.$

El escalar de Ricci es una contracción.

R = {gramo}^{m v} R_{m v} .

$R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}.$

El tensor de Einstein es

{GRAMO}_{m v} = R_{m v} - \frac{1}{2} R {gramo}_{m v} .

$G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu}.$

la desaparición de $G_{\mu \nu}$ implica la desaparición de $R_{\mu \nu}$ . Es fácil de mostrar: contraiga la definición de $G_{\mu \nu}$ con la métrica inversa $g^{\mu \nu}$ , obtendrás

0 = {GRAMO}_{m v} {gramo}^{m v} = (1 - \frac{d}{2}) R .

$0 = G_{\mu \nu} g^{\mu \nu} = \left( 1 - \frac{d}{2} \right) R.$

Aquí $d = g^{\mu \nu} g_{\mu \nu}$ es la dimensionalidad del espacio-tiempo. A menos que $d = 2$ , Debemos tener $R = 0$ . Ahora inserte este resultado en la definición de $G_{\mu \nu}$ para obtener

0 = {GRAMO}_{m v} = R_{m v} - \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot {gramo}_{m v} = R_{m v} .

$0 = G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot g_{\mu \nu} = R_{\mu \nu}.$

Por lo tanto, en el vacío, el tensor de Ricci se desvanece. De hecho, Einstein llegó a esta conclusión incluso antes de que se finalizara la forma final de sus ecuaciones para la gravedad. Intentó generalizarlo como $R_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}$ primero, y eso no funcionó, lo que lo llevó a la definición de $G_{\mu \nu}$ .

Sin embargo, $R_{\mu \nu} = 0$ no implica $R^{\mu}_{\;\nu \sigma \tau} = 0$ . El espacio-tiempo fuera de la región donde se encuentra el planeta sigue siendo curvo, aunque el tensor de Ricci se desvanece. Su intuición también es correcta: si el tensor de Riemann completo se desvaneciera fuera de la región interna ocupada por el planeta, los cuerpos de prueba en su vecindad no sentirían su gravedad, que no es en absoluto lo que observamos en la naturaleza.

¿Cómo exactamente usarías matemáticamente el valor de $T_{\mu\nu}$ dentro del planeta para averiguar qué $R^{\sigma}_{\mu \tau \nu}$ (la curvatura de Riemann) está en algún punto fuera del planeta? Además, es la igualdad de la Ecuación de Campo de Einstein que dice que los valores de la curvatura de Einstein y el tensor de energía-momento (hasta el $8 \pi G/c^4$ ) en las mismas coordenadas (o ubicación en el espacio-tiempo) son iguales?
@mihirb es una ecuación diferencial, muy parecida a otras ecuaciones diferenciales como Maxwell. Recuerde cómo en electrodinámica, la ley del cuadrado inverso de Coulomb se puede derivar de una ecuación diferencial local $\nabla \vec{E} = \rho / \varepsilon_0$ ? Algo similar está sucediendo aquí, solo que más matemáticamente involucrado. Mire las soluciones de las ecuaciones de Einstein para ver ejemplos, como, por ejemplo, la de la estrella que se derrumba. Las soluciones de vacío como Schwarzschild también son perspicaces, pero se obtienen para el caso límite en el que el planeta colapsa en un punto (una singularidad).
Veo. Busqué la métrica de Schwarzschild y parece que primero puede resolver las ecuaciones de la métrica teniendo en cuenta las simetrías que está asumiendo, y luego puede usar la métrica para encontrar el valor de la curvatura de Riemann en cualquier punto en tiempo espacial. Entonces, matemáticamente, el valor de $T_{\mu \nu}$ en las ecuaciones está afectando la curvatura de Riemann en cualquier punto del espacio-tiempo a través de la métrica.
@mihirb sí, la derivación de la métrica de Schwarzschild toma $T_{\mu \nu}$ en cuenta, aunque de una manera un tanto extraña debido a que la fuente de esa métrica es una singularidad infinitamente densa.
La solución del @Prof.Legolasov Schwarschild es una solución exterior, cuando el espacio-tiempo es esféricamente simétrico. Describe el espacio-tiempo fuera de cualquier objeto no giratorio perfectamente esféricamente simétrico, no solo el objeto colapsado (aunque, solo en este caso, describe el espacio-tiempo en todas partes).
Sumado a esto, también está la métrica interior de Schwarzschild .
@Prof.Legolasov Entonces, ¿puedo pensar en $T_{\mu\nu}$ como la fuente de la curvatura en el espacio-tiempo? Las ecuaciones de campo de Einstein luego describen cómo esa curvatura se propaga a través del espacio-tiempo y eventualmente puede causar una curvatura a una gran distancia del lugar donde $T_{\mu\nu} \neq 0$ ? Similar a $\nabla \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0$ diciendo cómo se propaga el campo eléctrico a partir de una carga?
@mihirb eso es exactamente correcto. Sin embargo, a diferencia de Maxwell, las ecuaciones de Einstein no son lineales (lo que significa que una suma de soluciones no es en sí misma una solución), lo que hace que las matemáticas correspondientes sean mucho más complicadas.
@Prof.Legolasov Ya veo. Así que digamos que no había masa en una región del espacio-tiempo y de repente apareció una masa esféricamente simétrica en el espacio-tiempo. Entonces sería la curvatura causada por esa masa, que comenzó solo donde había distinto de cero $T_{\mu\nu}$ , se propaga lentamente a través del espacio-tiempo desde esa masa creando finalmente una curvatura a una gran distancia a su alrededor que sigue la métrica de Schwarzschild? ¿Y las ecuaciones de campo de Einstein describen algo así?
Supongo que me pregunto cómo exactamente se creó localmente la curvatura en un lugar donde $T_{\mu \nu} \neq 0$ se propaga para crear una curvatura en el espacio-tiempo donde $T_{\mu\nu} = 0$ alrededor de una masa. O al menos si hay una manera de describirlo matemáticamente.
@mihirb ese modelo mental es esencialmente correcto, pero con una advertencia. La situación que describiste es físicamente imposible, porque $T_{\mu \nu}$ debe satisfacer $T^{\mu \nu}_{\;\;\;\;;\nu} = 0$ . Sin embargo, es posible hacer una declaración precisa a lo largo de su línea de pensamiento, lo que le haría concluir que las perturbaciones en la distribución de la materia hacen que las ondas (ondas gravitacionales) en la geometría del espacio-tiempo se propaguen hacia afuera con velocidad local. $c$ . No voy a hacer esta declaración precisa aquí ya que es una historia larga y los comentarios no están destinados a una discusión extensa.

JEB · Answer 2

Es verdad:

{GRAMO}_{m v} = 0

$G_{\mu\nu} = 0$

en, digamos, la estación espacial... sin embargo, no se queda allí, ¿verdad?

Mira la ecuación de Maxwell:

\nabla \cdot mi = ρ / ϵ_{0}

${\bf \nabla \cdot E} = \rho/\epsilon_0$

también podríamos decir "la carga le dice al campo eléctrico cómo divergir, y el campo eléctrico le dice a la carga cómo moverse" (parafraseando a JA Wheeler), pero una divergencia cero cerca de una carga no significa cero campo eléctrico.

Asimismo, $G_{\mu\nu}=0$ no significa $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}$ .

¡Gracias! La comparación con el electromagnetismo y $\nabla \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0$ fue muy útil
Aunque una pregunta. ¿Cuál sería el campo en GR que corresponde al campo eléctrico en el electromagnetismo? ¿tiempo espacial? es decir, ¿cualquier masa afecta la curvatura en una región del espacio-tiempo a su alrededor de manera similar a cómo una carga produce un campo eléctrico en una gran región a su alrededor? Supongo que las ecuaciones locales de Einstein en cada punto pueden decirle cómo la masa (región donde $T_{\mu\nu} \neq 0$ ) El efecto en el espacio-tiempo puede "irrumpir" y afectar la curvatura del espacio-tiempo en la ubicación de la estación espacial.

Soluciones a las ecuaciones de campo de Einstein donde Tμν=0Tμν=0T_{\mu \nu} = 0

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¿Cómo se puede deformar la "nada"?

Solución específica de la ecuación de campo de Einstein

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