Encontrar el límite de la siguiente serie, siempre que sea convergente

En primer lugar, su intervalo de convergencia está equivocado: usando la expresión $a_n = \dfrac {\varphi^n - (-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} = \dfrac {\varphi^{2n} - (-1)^{n}} {\sqrt 5 \varphi^n}$dónde$\varphi = \dfrac {1 + \sqrt 5} 2$, el radio de convergencia se puede calcular como$\dfrac 1 {\lim \limits _n \sqrt[n] {a_n} } = \dfrac 1 \varphi$. Tenga en cuenta que cuando$x = \dfrac 1 \varphi$la serie se convierte$\sum \dfrac {\varphi^{2n} - (-1)^{n}} {\sqrt 5 \varphi^{2n}}$que es obviamente divergente (su término tiende a$1$) y cuando$x = -\dfrac 1 \varphi$la serie se convierte$\sum (-1)^n \dfrac {\varphi^{2n} - (-1)^{n}} {\sqrt 5 \varphi^{2n}}$que es de nuevo divergente por la misma razón. Por lo tanto, el conjunto de convergencia es$(-\dfrac 1 \varphi, \dfrac 1 \varphi)$.

Tenga en cuenta que, al menos formalmente, puede dividir la serie en dos subseries:$\sum \limits \dfrac {\varphi^n} {\sqrt 5} x^n - \sum \dfrac {(-\varphi)^{-n}} {\sqrt 5} x^n$; el radio de convergencia del primero es$\dfrac 1 \varphi$y el radio de convergencia del segundo es$\varphi$, por lo que cada uno converge en$(-\dfrac 1 \varphi, \dfrac 1 \varphi)$. En este intervalo común a ambos, son series geométricas que tienen sumas muy simples:$\dfrac 1 {\sqrt 5} \left( \dfrac 1 {1 - \varphi x} - \dfrac {1} {1 + \frac x \varphi} \right) = \dfrac x {1 - x - x^2}$.

Tenga en cuenta que puede encontrar una derivación alternativa de esto en Wikipedia .

suponiendo convergencia, defina

$$f(x)=\sum_{j=0}^{\infty} a_jx^j$$ entonces $$(1+x)f(x) = a_0+\sum_{j=1}^{\infty} (a_{j-1}+a_j)x^j$$ si $a_0=0$ $$= \sum_{j=1}^{\infty} a_{j+1}x^j \\ =\frac{f(x)-x}x$$ donación $$f(x)=\frac{-x}{x^2+x-1} \\ =\frac{x}{1 -x -x^2}$$