Dejar dónde es el enésimo número de Fibonacci.
Encuentre los valores para los cuales la serie es convergente y encuentre por esos valores. (es decir, encontrar el límite cuando es convergente, en términos de )
He averiguado, usando la prueba de la razón, y el hecho de que que la serie converge para
También sé por otra fuente que cuando la serie converge eso , pero parece que no puedo probar esto por mí mismo.
¿Podría alguien mostrarme cómo se puede lograr esto?
¡Gracias por la ayuda!
Supongo que esto tiene algo que ver con la serie de Taylor, ¿quizás?
En primer lugar, su intervalo de convergencia está equivocado: usando la expresión dónde , el radio de convergencia se puede calcular como . Tenga en cuenta que cuando la serie se convierte que es obviamente divergente (su término tiende a ) y cuando la serie se convierte que es de nuevo divergente por la misma razón. Por lo tanto, el conjunto de convergencia es .
Tenga en cuenta que, al menos formalmente, puede dividir la serie en dos subseries: ; el radio de convergencia del primero es y el radio de convergencia del segundo es , por lo que cada uno converge en . En este intervalo común a ambos, son series geométricas que tienen sumas muy simples: .
Tenga en cuenta que puede encontrar una derivación alternativa de esto en Wikipedia .
suponiendo convergencia, defina
André Nicolás