¿Contradicciones entre la prueba de series alternas y la prueba de divergencia?

Por la prueba alterna : la serie$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot b_n$converge si se cumplen las tres condiciones siguientes:

1. El$b_n$son todos positivos.
2. Lo positivo$b_n$están (eventualmente) disminuyendo:$b_n\ge b_{n+1}$ $\forall n\ge N$.
3. $b_n \to 0$

Pero en la Prueba de Divergencia : Dado$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$, si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \implies$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$diverge

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Ahora dada una serie alterna arbitraria:

$$S = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot b_n$$

Si tomamos el límite de$a_n$en la serie de arriba

$$\lim_{n \to \infty}(-1)^{n+1}\cdot b_n = \underbrace{\left(\lim_{n \to \infty }(-1)^{n+1}\right)}_\text{This limit doesn't exist}\left(\lim_{n \to \infty} b_n\right)$$

Por lo tanto, por la prueba de divergencia,$S$debe ser una serie divergente, independientemente de las condiciones necesarias para la prueba alterna. Pero por la prueba de series alternas,$S$es una serie convergente siempre que se cumplan las tres condiciones estipuladas inicialmente.

Entonces, ¿cómo se resuelve esta aparente contradicción mediante la prueba de series alternas?