Cuestión de evaluación de un límite de una sucesión.

Question

Cuestión de evaluación de un límite de una sucesión.

limites
Matemáticas
análisis real
secuencias y series
convergencia divergencia

fanáticos

Encuentre el siguiente límite $:$

$\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} .$ $\lim_{N \to \infty} \frac {1} {\sqrt {N}} \sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}}.$

Está bastante claro que $\sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}} \gt \sqrt {N}$ para $N \gt 1.$ Entonces el límite (si existe finitamente) tiene que ser $\geq 1.$ Pero creo que el límite es el infinito. Para eso necesito que la suma sea mayor que algún múltiplo escalar de $N^s$ para suficientemente grande $N$ donde requerimos $s \gt \frac {1} {2}.$ ¿Es posible alcanzar este límite inferior eventualmente? Cualquier ayuda en este sentido sería muy apreciada.

Muchas gracias.

Kavi Rama Murthy

el limite es

2

$2$ . Usa la comparación con

\frac{1}{\sqrt{N}} \int_{1}^{N} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

$\frac 1 {\sqrt N}\int_1^{N} \frac 1 {\sqrt x}dx$ .

fanáticos

@KaviRamaMurthy

:

$:$ Tenemos las siguientes desigualdades

:

$:$

\frac{1}{\sqrt{norte}} (1 + \int_{1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{X}} d X) \geq \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} \geq \frac{1}{\sqrt{norte}} \int_{1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{X}} d X .

$\frac {1} {\sqrt {N}} \left (1 + \int_{1}^{N} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx \right ) \geq \frac {1} {\sqrt {N}} \sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}} \geq \frac {1} {\sqrt {N}} \int_{1}^{N} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx.$ Entonces por el teorema de Sandwich tenemos

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \int_{1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{X}} d X = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{2 \sqrt{norte} - 2}{\sqrt{norte}} = 2.

$\lim\limits_{N \to \infty} \frac {1} {\sqrt {N}} \sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}} = \lim\limits_{N \to \infty} \frac {1} {\sqrt {N}} \int_{1}^{N} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx = \lim\limits_{N \to \infty} \frac {2 \sqrt {N} - 2} {\sqrt {N}} = 2.$ ¿Tengo razón?

Kavi Rama Murthy

Si, eso es correcto.

nejimban

También puedes considerar la suma de Riemann

\frac{1}{N} \sum_{n = 1}^{N} \frac{1}{\sqrt{\frac{n}{N}}}

$\frac1N\sum_{n=1}^N\frac1{\sqrt\frac nN}$ .

fanáticos

@nejimban

:

$:$ Esta suma de Riemann se aproxima a la integral

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx$ para suficientemente grande

N .

$N.$

RW Prado

La suma de Riemann solo funciona para funciones acotadas en la integral necesaria. Para lograr la respuesta correcta, creo que se necesita el enfoque de Kavi. Por cierto, interesante pregunta! Me gustó bastante. =)

Amrit Awasthi

De hecho, el límite es igual a 2. Podemos usar límites simples para la suma y luego usar el teorema de Sandwich para obtener el resultado. Escribiré mi respuesta. !)

Respuestas (4)

Cuestión de evaluación de un límite de una sucesión.

el limite es $2$ . Usa la comparación con $\frac 1 {\sqrt N}\int_1^{N} \frac 1 {\sqrt x}dx$ .
@KaviRamaMurthy $:$ Tenemos las siguientes desigualdades $:$ $\frac{1}{\sqrt{norte}} (1 + \int_{1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{X}} d X) \geq \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} \geq \frac{1}{\sqrt{norte}} \int_{1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{X}} d X .$ $\frac {1} {\sqrt {N}} \left (1 + \int_{1}^{N} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx \right ) \geq \frac {1} {\sqrt {N}} \sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}} \geq \frac {1} {\sqrt {N}} \int_{1}^{N} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx.$ Entonces por el teorema de Sandwich tenemos $\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \int_{1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{X}} d X = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{2 \sqrt{norte} - 2}{\sqrt{norte}} = 2.$ $\lim\limits_{N \to \infty} \frac {1} {\sqrt {N}} \sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}} = \lim\limits_{N \to \infty} \frac {1} {\sqrt {N}} \int_{1}^{N} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx = \lim\limits_{N \to \infty} \frac {2 \sqrt {N} - 2} {\sqrt {N}} = 2.$ ¿Tengo razón?
También puedes considerar la suma de Riemann $\frac1N\sum_{n=1}^N\frac1{\sqrt\frac nN}$ .
@nejimban $:$ Esta suma de Riemann se aproxima a la integral $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac {1} {\sqrt {x}}\ dx$ para suficientemente grande $N.$
La suma de Riemann solo funciona para funciones acotadas en la integral necesaria. Para lograr la respuesta correcta, creo que se necesita el enfoque de Kavi. Por cierto, interesante pregunta! Me gustó bastante. =)
De hecho, el límite es igual a 2. Podemos usar límites simples para la suma y luego usar el teorema de Sandwich para obtener el resultado. Escribiré mi respuesta. !)

Reza Rajaei · Answer 1

Creo que será útil para aquellos que no están familiarizados con la técnica mencionada anteriormente en la sección de comentarios. Entonces, estoy publicando una respuesta.

Por definición sabemos $\int_0^1 f(x) dx=\lim\limits_{N \to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f (\frac{n}{N})$ .

También,

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{norte = 1}^{norte} \sqrt{\frac{norte}{norte}} = \underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{norte} \sum_{norte = 1}^{norte} F (\frac{norte}{norte})

$\lim\limits_{N \to\infty} \frac{1}{\sqrt N}\sum_{n=1}^N\frac{1}{\sqrt n}=\lim\limits_{N \to\infty}\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \sqrt\frac{N}{n}=\lim\limits_{N \to\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f (\frac{n}{N})$ dónde

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x)=\frac {1}{\sqrt x}$ .

Por lo tanto:

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{X}} d X = 2

$\lim\limits_{N \to\infty} \frac{1}{\sqrt N}\sum_{n=1}^N\frac{1}{\sqrt n}=\int_0^1 \frac {1}{\sqrt x}dx=2$

Se deben agregar algunos comentarios que expliquen por qué la integral converge a la suma correcta. ¿Qué teorema se debe usar para concluir eso? Nótese que la función no es continua en $0$ , desde $f$ no está definido allí.
@RWPrado sí. A pesar de $f(x)=\frac {1}{\sqrt x}$ no está limitado en $[0,1]$ , todas las relaciones siguen funcionando porque $\int_a^1 f(x) dx$ existe como $a$ tiende a cero.

Claudio Leibovici · Answer 2

Si te gustan los números armónicos generalizados, puedes tener una buena aproximación de la suma parcial

S_{norte} = \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} = \frac{1}{\sqrt{norte}} H_{norte}^{(\frac{1}{2})}

$S_N=\frac {1} {\sqrt {N}} \sum\limits_{n=1}^{N} \frac {1} {\sqrt {n}}=\frac {1} {\sqrt {N}}\,H_N^{\left(\frac{1}{2}\right)}$ y, usando asintóticas

S_{norte} = 2 + \frac{ζ (\frac{1}{2})}{\sqrt{norte}} + \frac{1}{2 norte} - \frac{1}{24 {norte}^{2}} + O (\frac{1}{{norte}^{4}})

$S_N=2+\frac{\zeta \left(\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{N}}+\frac{1}{2 N}-\frac{1}{24 N^2}+O\left(\frac{1}{N^4}\right)$ Usar esta serie truncada para

N = 100

$N=100$ , obtendrías

1.858960382452

$1.858960382452$ mientras que el valor exacto es

1.858960382478

$1.858960382478$

Se deben agregar más comentarios que expliquen cómo obtener estos números y por qué la suma no es 2, como sugieren los demás.
@RWPrado. Calculé y aproximé la suma parcial $S_N$ . Ahora si $N\to \infty$ , el resultado es $2$ .

Amrit Awasthi · Answer 3

En primer lugar tenga en cuenta que

2 (\sqrt{norte + 1} - \sqrt{norte}) = 2 \frac{(\sqrt{norte + 1} - \sqrt{norte}) (\sqrt{norte + 1} + \sqrt{norte})}{(\sqrt{norte + 1} + \sqrt{norte})} = \frac{2}{(\sqrt{norte + 1} + \sqrt{norte})} < \frac{2}{2 \sqrt{norte}} = \frac{1}{\sqrt{norte}}

$2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = 2\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) (\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) }{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) }=\frac{2}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) }<\frac{2}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}$ De manera similar se puede demostrar que:

2 (\sqrt{norte} - \sqrt{norte - 1}) > \frac{1}{\sqrt{norte}}

$2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) >\frac{1}{\sqrt{n}}$ Aporreando las desigualdades que tenemos

2 (\sqrt{norte + 1} - \sqrt{norte}) < \frac{1}{\sqrt{norte}} < 2 (\sqrt{norte} - \sqrt{norte - 1})

$2{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) }<\frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$ resumiéndolos desde

n = 1

$n=1$ a

n = N

$n=N$ obtenemos una suma telescópica y por lo tanto la desigualdad se convierte en:

2 (\sqrt{norte + 1} - 1) < \sum_{norte = 1}^{norte = norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} < 2 (\sqrt{norte})

$2(\sqrt{N+1}-1)<\sum \limits_{n=1}^{n=N} \frac{1}{\sqrt{n}}<2(\sqrt{N})$ Ahora dividiendo por

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$ rendimientos

\frac{2 (\sqrt{norte + 1} - 1)}{\sqrt{norte}} < \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte = norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} < 2

$\frac{2(\sqrt{N+1}-1)}{\sqrt{N}}<\frac{1}{\sqrt{N}}\sum \limits_{n=1}^{n=N} \frac{1}{\sqrt{n}}<2$ Alquiler

N \to \infty

$N\to \infty$ y usando el teorema del sándwich, obtenemos el límite requerido igual a 2. Es decir:

\underset{norte \to \infty}{límite} \frac{1}{\sqrt{norte}} \sum_{norte = 1}^{norte = norte} \frac{1}{\sqrt{norte}} = 2

$\lim_{N\to \infty} \frac{1}{\sqrt{N}}\sum \limits_{n=1}^{n=N} \frac{1}{\sqrt{n}} =2$

Rick hace matemáticas · Answer 4

Usemos Cesàro-Stolz: $\frac{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{\sqrt{k}} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{1/\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$ y esto obviamente converge a $2$ como $n \to \infty$ .

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Convergencia de una serie infinita particular

¿Contradicciones entre la prueba de series alternas y la prueba de divergencia?

Secuencia, teorema de convergencia monótona.

¿Resumen de mi comprensión de la convergencia y divergencia de secuencias y series?

Comprobando si esta sucesión es convergente o divergente

convergencia de la serie ∑un,un=nnxnn!∑un,un=nnxnn!\sum u_n, u_n = \frac{n^nx^n}{n!} para x>0x>0x>0

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

Demostrando que toda sucesión de Cauchy en RR\mathbb{R} es convergente. ¿Funciona la siguiente demostración?