¿Cuál sería un equivalente a la razón de todos los números impares entre todos los números pares?

Question

¿Cuál sería un equivalente a la razón de todos los números impares entre todos los números pares?

limites
Matemáticas
secuencias y series
convergencia divergencia

anne aunyme

Considere la sucesión U definida por:

$U_0 = 1$
$U_{n+1} = U_{n}*(2n+1)/(2n+2)$

Estoy interesado en cómo se comporta esta secuencia cerca del infinito.

A medida que los términos se multiplican, cada paso, por $(2n+1)/(2n+2)$ , que está en el $]0,1[$ intervalo, debería converger, probablemente hacia 0, aunque no sé cómo probarlo. Sin embargo, conocer el límite no es suficiente: lo ideal sería poder tener un polinomio equivalente para la rapidez con la que converge (u otro equivalente simple si el polinomio no es posible).

Will Jagy

con logaritmo natural y

0 < t < 1, \log (1 - t) = t + \frac{t^{2}}{2} + s m a l l e r

$0<t<1, \log( 1 - t ) = t + \frac{t^2}{2} + smaller$ por la serie de Taylor. Y si

t = 1 / (2 n + 2)

$t = 1/(2n+2)$

Tomas Andrews

El título no es muy bueno en matemáticas.

Respuestas (2)

¿Cuál sería un equivalente a la razón de todos los números impares entre todos los números pares?

con logaritmo natural y $0<t<1, \log( 1 - t ) = t + \frac{t^2}{2} + smaller$ por la serie de Taylor. Y si $t = 1/(2n+2)$

Roberto orilla · Answer 1

Quieres $\prod (1-\frac{1}{2n+2})$ . Esto converge a un número distinto de cero si y solo si $\sum \ln (1-\frac{1}{2n+2})$ converge Pero la serie de Taylor para $\ln (1-x)$ nos muestra que esta suma es mayor (en valor absoluto) que $\frac 12$ de la serie armónica, por lo que el producto diverge a $0$ .

greg martin · Answer 2

La respuesta de Robert Shore es probablemente la mejor manera de pensar sobre este problema. Pero solo para dar un enfoque muy práctico: tenga en cuenta que

(\frac{2 norte + 1}{2 norte + 2} / \sqrt{\frac{norte + 1}{norte + 2}})^{2} = \frac{(2 norte + 1)^{2} (norte + 2)}{(2 norte + 2)^{2} (norte + 1)} = 1 - \frac{3 norte + 2}{4 (norte + 1)^{3}} < 1

$\bigg( \frac{2n+1}{2n+2} \bigg/ \sqrt{\frac{n+1}{n+2}} \biggr)^2 = \frac{(2n+1)^2(n+2)}{(2n+2)^2(n+1)} = 1 - \frac{3n+2}{4(n+1)^3} < 1$ para todos

n \geq 0

$n\ge0$ . En particular,

\frac{2 n + 1}{2 n + 2} < \sqrt{\frac{n + 1}{n + 2}}

$\displaystyle\frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\frac{n+1}{n+2}}$ siempre, y asi

0 < \prod_{norte = 0}^{norte} \frac{2 norte + 1}{2 norte + 2} < \sqrt{\prod_{norte = 0}^{norte} \frac{norte + 1}{norte + 2}} = \sqrt{\frac{1}{norte + 2}},

$0 < \prod_{n=0}^N \frac{2n+1}{2n+2} < \sqrt{\prod_{n=0}^N \frac{n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac1{N+2}},$ lo cual es suficiente para implicar que

\prod_{n = 0}^{\infty} \frac{2 n + 1}{2 n + 2}

$\displaystyle\prod_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2n+2}$ diverge a

0

$0$ .

(De hecho, cambiando el $\displaystyle\frac{n+1}{n+2}$ a $\displaystyle\frac{n}{n+1}$ produce el límite inferior $\displaystyle\sqrt{\frac1{4(N+1)}}$ para el producto parcial, entonces $N^{-1/2}$ es el orden correcto de descomposición.)

¡Lindo! Todavía tengo algunos detalles que resolver después de eso, pero parecen triviales. ¡Muchas gracias!

¿Cuál sería un equivalente a la razón de todos los números impares entre todos los números pares?

anne aunyme

Will Jagy

Tomas Andrews

Respuestas (2)

Roberto orilla

greg martin

anne aunyme

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Convergencia de una serie infinita particular

Encontrar el límite de la siguiente serie, siempre que sea convergente

Cuestión de evaluación de un límite de una sucesión.

¿Contradicciones entre la prueba de series alternas y la prueba de divergencia?

Acotando la suma de recíprocos "divergentes más lentos" o "convergentes más lentos"

¿Confundido acerca de las series y las pruebas de convergencia/divergencia?

Secuencia, teorema de convergencia monótona.

¿Resumen de mi comprensión de la convergencia y divergencia de secuencias y series?

Límite de una suma particular de recíprocos