¿Confundido acerca de las series y las pruebas de convergencia/divergencia?

Que una serie converja o no no depende de si$\lim_{n\to\infty}a_n=0$, más bien es lo contrario lo que es cierto.

Si una serie converge, entonces$\lim_{n\to\infty}a_n=0$.

Pero$\lim_{n\to\infty}a_n=0$no prueba que una serie converge.

Tu serie es un ejemplo de una que no converge y se acerca$0$.

Aquí está mi explicación:

Si una suma se acerca cada vez más a algún límite, entonces sus sumas parciales deben aumentar cada vez menos. Al llegar al límite, las sumas parciales ya no aumentan y debemos tener lo siguiente:

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}{f(i)}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n+1}{f(i)}$$ Debido a la naturaleza de$\infty$.

Además, tenemos tales:

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}{f(i)}=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n+1}{f(i)}$$ $$\lim_{n\to\infty}f(1)+f(2)+f(3)+\cdots f(n)=\lim_{n\to\infty}f(1)+f(2)+f(3)+\cdots f(n)+f(n+1)$$ $$0=\lim_{n\to\infty}f(n+1)$$

Se puede probar que una serie convergente tiene esta propiedad, pero no que una serie con esta propiedad sea convergente.

Esto significa que una serie sin esta propiedad debe ser divergente, porque acabo de demostrar que todas las series convergentes tienen esta propiedad, es decir, si no la tienen, no pueden ser convergentes.

Además, (dato curioso) la suma de una serie no depende de si converge.

Por ejemplo:

$$\sum_{n=1}^{\infty}n=-\frac12$$ Si no crees, puedes buscarlo. Incluso tiene su propia página wiki.

Como otros han dicho, esto no es una condición suficiente. Para este ejemplo particular, puede argumentar de la siguiente manera. Supongamos por el contrario que la serie converge.

Dejar$s_n$denota el$n$-ésima suma parcial. Como la serie converge entonces$(s_n)$es una sucesión de Cauchy. Dejar$\varepsilon = 1/6$. Entonces alli esta$n_0$tal que$|s_q-s_p|< 1/6$para todos$q>p\ge n_0$. Dejar$q=2n_0$y$p=n_0$. Entonces

$$\frac{1}{6}>\bigg|\sum_{n=n_0+1}^{2n_0} \frac{1}{2n}\bigg|\ge\bigg|\sum_{n=n_0+1}^{2n_0} \frac{1}{4n_0}\bigg|=\frac{1}{4}$$

una contradicción Entonces esta contradicción muestra que la serie diverge.

$$1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12 +1/14 +1/16+......\geq$$ $$\geq 1/2+1/4+(1/8+1/8)+(1/16+1/16+1/16+1/16)+...=$$ $$=1/2+1/4+1/4+1/4+...$$ que es divergente.

Hay muchas pruebas para la convergencia. Para una secuencia monótona como esta, la prueba de condensación de Cauchy suele ser útil: si$f:\mathbb N\to \mathbb R$entonces es monótono$\sum_nf(n)$converge si y si$\sum_n2^nf(2^n)$converge

Aquí,$f(n)=1/2n$es monótono y$f(2^n)=1/(2\cdot 2^n)=1/2^{n+1}$. Entonces$2^nf(2^n)=2^n/2^{n+1}=1/2$y$\sum_n2^nf(2^n)=\sum_n(1/2)=1/2+1/2+1/2+...,$divergente